Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206668

Operador linear injetor em polinômios

Gabarito: letra B. A função $T(p(x)) = p(x) + x \cdot p'(x)$ é um operador linear (satisfaz aditividade e homogeneidade) e é injetora, pois seu núcleo contém apenas o polinômio nulo. A injetividade decorre do fato de que, se $T(p) = 0$ , então $p$ é constante e, pela condição $p(x) + x p'(x) = 0$ , essa constante deve ser zero.

O que é um operador linear?

Um operador linear é uma transformação entre espaços vetoriais que preserva as duas operações: a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Formalmente, $T: V \to W$ é linear se, para quaisquer $u, v \in V$ e escalar $\lambda$ :

$T(u + v) = T(u) + T(v)$ (aditividade)
$T(\lambda u) = \lambda T(u)$ (homogeneidade)

No contexto da questão, o espaço vetorial é $P_n(\mathbb{R})$ , o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a $n$ com coeficientes reais. A função $T$ age sobre um polinômio $p(x)$ somando-o ao produto de $x$ pela sua derivada $p'(x)$ .

Verificando a linearidade

Vamos testar as duas propriedades para $T(p(x)) = p(x) + x \cdot p'(x)$ .

Aditividade: Para $p, q \in P_n(\mathbb{R})$ :

T(p + q) = (p+q) + x(p+q)' = p + q + x(p' + q') = (p + x p') + (q + x q') = T(p) + T(q)

Aqui usamos a linearidade da derivada: $(p+q)' = p' + q'$ .

Homogeneidade: Para $\lambda \in \mathbb{R}$ :

T(\lambda p) = \lambda p + x(\lambda p)' = \lambda p + x \lambda p' = \lambda (p + x p') = \lambda T(p)

Novamente, usamos a linearidade da derivada: $(\lambda p)' = \lambda p'$ .

Portanto, $T$ é linear. As alternativas A, C e D, que afirmam que $T$ não é linear, estão incorretas.

Verificando a injetividade

Uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo é trivial, ou seja, $\ker(T) = \{0\}$ . Vamos encontrar o núcleo de $T$ : queremos os polinômios $p$ tais que $T(p) = 0$ .

p(x) + x p'(x) = 0

Essa é uma equação diferencial. Podemos resolvê-la separando variáveis:

\frac{dp}{dx} = -\frac{p}{x} \Rightarrow \frac{dp}{p} = -\frac{dx}{x}

Integrando ambos os lados:

\ln|p| = -\ln|x| + C \Rightarrow p = \frac{K}{x}

Mas $p$ é um polinômio, e a única função da forma $K/x$ que é polinômio é a constante $K = 0$ (pois $1/x$ não é polinômio). Portanto, $p(x) = 0$ é a única solução polinomial. Assim, $\ker(T) = \{0\}$ , e $T$ é injetora.

Outra forma de ver: se $p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ , então $T(p) = a_0 + 2a_1 x + 3a_2 x^2 + \dots + (n+1)a_n x^n$ . Se $T(p) = 0$ , todos os coeficientes devem ser zero, o que implica $a_0 = a_1 = \dots = a_n = 0$ . Logo, $p = 0$ .

Sobrejetividade?

A questão não pergunta, mas é útil saber: $T$ é sobrejetora? No espaço $P_n(\mathbb{R})$ , a imagem de $T$ é o conjunto dos polinômios cujo termo independente é $a_0$ (pois $T(p)$ tem termo independente $a_0$ ). Mas qualquer polinômio pode ser obtido? Sim, pois dado $q(x) = b_0 + b_1 x + \dots + b_n x^n$ , podemos encontrar $p$ tal que $T(p) = q$ resolvendo $a_k = b_k/(k+1)$ para $k \geq 1$ e $a_0 = b_0$ . Portanto, $T$ é sobrejetora e, sendo injetora, é bijetora. Mas a alternativa E diz "não injetor", o que é falso.

Análise das alternativas

Propriedade	Condição exigida	Verificação para (T(p)=p+xp')	Resultado
Aditividade	(T(p+q)=T(p)+T(q))	(T(p+q)=(p+q)+x(p+q)'=p+q+xp'+xq'=T(p)+T(q))	V
Homogeneidade	$(T(\lambda p)=\lambda T(p))$	$(T(\lambda p)=\lambda p+x(\lambda p)'=\lambda p+\lambda xp'=\lambda T(p))$	V
Injetividade	(\ker(T)=\{0\})	$T(p)=0 \Rightarrow p+xp'=0 \Rightarrow p=0$ (única solução polinomial)	V
Núcleo trivial	(p=0) é a única solução	Coeficientes: $a_k(k+1)=0 \Rightarrow a_k=0$ para todo (k)	V

Operador linear T(p) = p + x·p'

1Linearidade
- Aditividade: T(p+q) = T(p) + T(q)
- Homogeneidade: T(λp) = λT(p)
2Injetividade
- Núcleo trivial: ker(T) = {0}
- Coeficientes: a₀ = 2a₁ = ... = (n+1)aₙ = 0
3Sobrejetividade
- Todo polinômio q é atingido
- aₖ = bₖ/(k+1)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $T$ não é linear, mas como demonstrado, $T$ satisfaz as duas propriedades de linearidade. A aditividade e a homogeneidade valem, então a afirmação é falsa.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$T$ é linear (verificado acima) e injetora (núcleo trivial). Portanto, é um operador linear injetor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $T$ não é linear apenas pela falha na aditividade, mas a aditividade é satisfeita. Logo, a afirmação é falsa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $T$ não é linear apenas pela falha na homogeneidade, mas a homogeneidade é satisfeita. Logo, a afirmação é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $T$ é linear, mas não injetor. Como vimos, $T$ é injetor, então a afirmação é falsa.

Conclusão

A função $T$ é um operador linear injetor, pois preserva soma e multiplicação por escalar e tem núcleo trivial. A alternativa correta é a letra B.

Gabarito: letra B