Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2024

Elipse: excentricidade e interseção com o eixo x

Gabarito: letra E. A excentricidade $e = \frac{c}{a}$ relaciona a distância focal com o semieixo maior. Como $a^2 = 9$, temos $a = 3$ e, portanto, $c = a \cdot e = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$. Pela relação fundamental $a^2 = b^2 + c^2$, obtemos $b^2 = 9 - 5 = 4$. Os pontos de interseção com o eixo x são encontrados fazendo $y = 0$ na equação da elipse, o que resulta em $x = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

A elipse é uma curva cônica definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante. Essa constante é igual ao comprimento do eixo maior, $2a$. Os elementos principais da elipse são o centro, os focos, o eixo maior (medida $2a$), o eixo menor (medida $2b$) e a distância focal (medida $2c$). A relação fundamental que conecta esses elementos é $a^2 = b^2 + c^2$, que vale para qualquer elipse.

A excentricidade, denotada por $e$, é um número entre 0 e 1 que mede o quão "achatada" é a elipse. Quanto mais próxima de 0, mais a elipse se parece com uma circunferência; quanto mais próxima de 1, mais achatada ela é. A fórmula é $e = \frac{c}{a}$. Nesta questão, a excentricidade é dada e o valor de $a$ pode ser extraído da equação, permitindo encontrar $c$ e, consequentemente, $b$.

Para encontrar os pontos de interseção com o eixo x, basta substituir $y = 0$ na equação da elipse. Isso é feito porque o eixo x é o conjunto de pontos onde a coordenada y é nula. A equação resultante será uma equação do segundo grau em x, cujas soluções são as abscissas dos pontos procurados.

A pegadinha desta questão está em identificar corretamente o valor de $a$ na equação. Como o denominador de $x^2$ é 9, temos $a^2 = 9$ e $a = 3$. O denominador de $(y+1)^2$ é $b^2$, que é menor que 9, confirmando que o eixo maior é horizontal. A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o usar $b^2 = 9$ ou inverter os valores de $a$ e $b$.

Guarde a sequência de passos: extrair $a$ da equação, usar a excentricidade para achar $c$, usar a relação fundamental para achar $b$, e então substituir $y=0$ para encontrar as interseções. É exatamente essa sequência que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os valores $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ não correspondem a nenhum cálculo correto. Se o candidato errasse ao considerar $b^2 = 9$ e $a^2 = 4$, poderia chegar a um valor próximo, mas não exato. O erro aqui é não ter usado a excentricidade para encontrar o valor correto de $b$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os valores $\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$ surgem de um erro no cálculo de $b$. Se o candidato calculasse $b^2 = 9 - (\sqrt{5})^2 = 4$ corretamente, mas depois errasse ao extrair a raiz quadrada de $\frac{9}{4}$, poderia obter $\frac{3}{2}$, mas o numerador seria $\sqrt{3}$, não $\sqrt{2}$. A confusão entre $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ é uma armadilha comum.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os valores $\pm \sqrt{2}$ indicam que o candidato pode ter errado ao calcular $b^2$, obtendo $b^2 = 2$ em vez de 4. Isso aconteceria se ele usasse a excentricidade de forma incorreta, por exemplo, fazendo $c = \sqrt{5}$ e depois $b^2 = 9 - (\sqrt{5})^2 = 4$, mas errando a subtração. O valor $\sqrt{2}$ não tem relação com os dados do problema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Os valores $\pm \sqrt{3}$ são um distrator clássico. O candidato pode ter calculado $b^2 = 4$ corretamente, mas errado ao extrair a raiz de $\frac{9}{4}$, obtendo $\frac{3}{2}$ e depois simplificando incorretamente para $\sqrt{3}$. O correto é $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, não $\sqrt{3}$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Seguindo os passos: $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$. Com $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$, temos $c = a \cdot e = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$. Pela relação fundamental, $b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 5 = 4$. Substituindo $y = 0$ na equação: $\frac{x^2}{9} + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} = \frac{3}{4} \Rightarrow x^2 = \frac{27}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Portanto, os pontos são $\left( -\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$ e $\left( \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$.

Gabarito: letra E