Questão de Matemática — Outras Equações — VUNESP 2024

Equações polinomiais e raízes complexas

Gabarito: letra C. A equação que tem 3, (1 + i) e (1 – i) como raízes é obtida pelo produto $(x - 3)(x - (1+i))(x - (1-i)) = 0$, que resulta em $x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0$; multiplicando por 2, chegamos a $2x^3 - 10x^2 + 16x - 12 = 0$, exatamente a alternativa C.

O problema pede que você reconstrua uma equação polinomial a partir das raízes. A ideia central é o Teorema da Decomposição: se um polinômio de grau $n$ tem raízes $r_1, r_2, \ldots, r_n$, ele pode ser escrito como $a(x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n)$, onde $a$ é uma constante não nula. Isso vale também para raízes complexas, desde que os coeficientes sejam reais — e, nesse caso, as raízes complexas aparecem sempre em pares conjugados, como $(1+i)$ e $(1-i)$, o que garante que o produto dos fatores complexos resulte em um polinômio de coeficientes reais.

Vamos aplicar isso às raízes dadas. O produto dos fatores correspondentes às raízes complexas é:

Multiplicando pelo fator da raiz real:

Essa é a equação na forma mais simples (coeficiente líder 1). Como qualquer múltiplo constante dessa equação também tem as mesmas raízes, a alternativa C, que é exatamente o dobro ($2x^3 - 10x^2 + 16x - 12$), também satisfaz. As demais alternativas não são múltiplas dessa expressão, então não têm as raízes pedidas.

A pegadinha clássica aqui é o candidato esquecer que a equação pode ser multiplicada por uma constante — a banca coloca o fator 2 justamente para testar se você entende que a representação não é única. Outra armadilha é errar o produto dos conjugados, trocando o sinal do termo independente ou do termo em $x$.

Guarde o critério decisivo: as raízes determinam a equação a menos de uma constante multiplicativa. É exatamente isso que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $x^3 + 5x^2 + 8x + 6 = 0$ tem todos os coeficientes positivos, o que já indica que não pode ter raiz positiva (como 3), pois a soma dos termos seria sempre positiva. De fato, substituindo $x = 3$: $27 + 45 + 24 + 6 = 102 \neq 0$. O sinal do termo em $x^2$ está trocado em relação à equação correta (deveria ser negativo).

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $-2x^3 - 16x^2 + 10x + 12 = 0$ não é múltipla da equação correta. Testando $x = 3$: $-54 - 144 + 30 + 12 = -156 \neq 0$. Os coeficientes não correspondem a nenhuma combinação das raízes dadas — o termo em $x^2$ tem sinal e magnitude errados.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $2x^3 - 10x^2 + 16x - 12 = 0$ é exatamente o dobro da equação $x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0$, que obtivemos pelo produto dos fatores $(x-3)(x-(1+i))(x-(1-i))$. Como multiplicar uma equação por uma constante não altera suas raízes, esta alternativa está correta. Confirmação: substituindo $x = 3$, temos $54 - 90 + 48 - 12 = 0$; e as raízes complexas também satisfazem, pois são raízes do fator $x^2 - 2x + 2$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $-x^3 + 8x^2 - 5x + 6 = 0$ não corresponde ao produto das raízes. Testando $x = 3$: $-27 + 72 - 15 + 6 = 36 \neq 0$. Os coeficientes estão completamente diferentes dos esperados — o termo em $x^2$ deveria ser $-5$ (ou um múltiplo), não $+8$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $12x^3 - 10x^2 + 16x - 2 = 0$ não é múltipla da equação correta. Testando $x = 3$: $324 - 90 + 48 - 2 = 280 \neq 0$. Embora os termos em $x^2$ e $x$ tenham coeficientes que lembram os da equação correta (10 e 16), o termo independente e o coeficiente líder não seguem a mesma proporção — a razão entre eles não é constante.

Gabarito: letra C