Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206671

Rotacional de um campo vetorial

Gabarito: letra D — o rotacional de $\vec{F}(x,y,z) = xy\,\vec{i} - x^2\,\vec{j}$ é $\nabla \times \vec{F} = (0, 0, -3x)$ , e no ponto $(-1, 2, -9)$ isso resulta em $(0, 0, 3)$ .

O rotacional (ou curl) é um operador do cálculo vetorial que mede a tendência de um campo vetorial de "girar" em torno de um ponto. Ele é definido como o produto vetorial do operador nabla $\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ pelo campo $\vec{F} = (P, Q, R)$ :

\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}

Expandindo esse determinante, obtemos as três componentes:

\nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} - \left(\frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}

No nosso caso, $P = xy$ , $Q = -x^2$ e $R = 0$ (não há componente em $\vec{k}$ ). Vamos calcular cada derivada parcial necessária:

$\frac{\partial R}{\partial y} = 0$ e $\frac{\partial Q}{\partial z} = 0$ → componente $\vec{i}$ = $0 - 0 = 0$
$\frac{\partial R}{\partial x} = 0$ e $\frac{\partial P}{\partial z} = 0$ → componente $\vec{j}$ = $-(0 - 0) = 0$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = -2x$ e $\frac{\partial P}{\partial y} = x$ → componente $\vec{k}$ = $-2x - x = -3x$

Portanto, o rotacional é $\nabla \times \vec{F} = (0, 0, -3x)$ . Agora, substituímos $x = -1$ (a coordenada $y$ e $z$ não aparecem na expressão final): $-3 \times (-1) = 3$ . Logo, no ponto $(-1, 2, -9)$ , o rotacional é $(0, 0, 3)$ .

A pegadinha clássica aqui é esquecer o sinal negativo na componente $\vec{k}$ ou errar a derivada de $-x^2$ (que é $-2x$ , não $2x$ ). Além disso, muitos candidatos substituem as três coordenadas, mas apenas o $x$ importa — as outras são distratores.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o sinal da derivada e o sinal da coordenada. Note que $x = -1$ é negativo, e a componente é $-3x$ ; o produto de dois negativos dá positivo. Quem substitui $x = -1$ em $-3x$ e esquece o sinal de menos do $x$ marca $-3$ (letra E).

Alternativa A — ❌ Incorreta

$(0, 0, -1)$ não corresponde a nenhum cálculo correto. O valor $-1$ não aparece em nenhuma derivada parcial do campo — as derivadas relevantes são $0$ , $-2x$ e $x$ . É um distrator puro, sem relação com o resultado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(0, 0, 2)$ também não é o resultado. O valor $2$ não surge de nenhuma combinação das derivadas. Se o candidato errasse a derivada de $-x^2$ como $2x$ e depois somasse com $x$ (em vez de subtrair), obteria $3x$ , que em $x=-1$ daria $-3$ — mas ainda assim não chegaria a $2$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

$(0, 0, -2)$ é outro distrator numérico. O valor $-2$ não corresponde a nenhuma derivada parcial do campo. Note que a derivada de $-x^2$ é $-2x$ , mas ela precisa ser combinada com a derivada de $xy$ em relação a $y$ (que é $x$ ) na subtração $-2x - x = -3x$ — o $-2$ sozinho é apenas a derivada parcial, não o resultado final.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto: $\nabla \times \vec{F} = (0, 0, -3x)$ . Substituindo $x = -1$ : $-3 \times (-1) = 3$ . Portanto, as componentes são $(0, 0, 3)$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

$(0, 0, -3)$ é o resultado que se obtém se o candidato substitui $x = -1$ em $-3x$ mas erra o sinal: $-3 \times (-1) = 3$ , não $-3$ . O erro está em tratar $x = -1$ como se fosse $x = 1$ ou esquecer que o sinal negativo de $x$ multiplica o sinal negativo do coeficiente, resultando em positivo.

Gabarito: letra D