Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206673

Comprimento de arco de uma função

Gabarito: letra B — o comprimento do arco é $\frac{32}{3}$ unidades de comprimento. Aplicando a fórmula $L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$ à função $f(x) = \frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$ no intervalo $[1,3]$ , obtemos exatamente esse valor.

O comprimento de arco é uma medida do "tamanho" de uma curva entre dois pontos. Imagine que você estica um barbante sobre o gráfico da função, do ponto onde $x=1$ até o ponto onde $x=3$ ; o comprimento desse barbante é o que chamamos de comprimento de arco. Para funções suaves (deriváveis com derivada contínua), a fórmula geral é:

L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx

Essa fórmula vem da ideia de aproximar a curva por pequenos segmentos de reta. Num trecho infinitesimal, o comprimento do segmento é $\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + (dy/dx)^2}\,dx = \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$ . Somando (integrando) esses infinitésimos, obtemos o comprimento total.

Vamos aplicar ao nosso caso. Primeiro, calculamos a derivada de $f(x) = \frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$ usando a regra da cadeia:

f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}(x^2+2)^{1/2} \cdot 2x = x\sqrt{x^2+2}

Elevando ao quadrado:

[f'(x)]^2 = x^2(x^2+2) = x^4 + 2x^2

Somando 1:

1 + [f'(x)]^2 = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2

Agora, a raiz quadrada fica simples:

\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \sqrt{(x^2+1)^2} = x^2+1

(como $x^2+1 > 0$ para todo $x$ , não precisamos de módulo).

A integral se torna:

L = \int_1^3 (x^2+1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_1^3 = \left(\frac{27}{3} + 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) = (9+3) - \frac{4}{3} = 12 - \frac{4}{3} = \frac{36-4}{3} = \frac{32}{3}

A "mágica" desta questão é que a expressão $1 + [f'(x)]^2$ se torna um quadrado perfeito, eliminando a raiz e transformando o problema numa integral polinomial simples. Esse é um padrão clássico em questões de comprimento de arco: a função é escolhida justamente para que essa simplificação ocorra.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não quer que você decore a fórmula e aplique cegamente — ela quer que você perceba que $1 + [f'(x)]^2$ vira um quadrado perfeito. Quem tenta integrar $\sqrt{1 + x^2(x^2+2)}$ sem simplificar trava na hora. O truque é sempre calcular $f'(x)$ , elevar ao quadrado, somar 1 e verificar se a expressão resultante é um quadrado perfeito — se for, a raiz "some" e a integral fica trivial.

Comprimento de arco — só Intervalo [1,3]: 32/3; só Função f(x): 32/3; Intervalo [1,3]∩Função f(x): 32/3

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{40}{3}$ seria obtido se, ao avaliar a integral $\int_1^3 (x^2+1)\,dx$ , você cometesse um erro de sinal ou de cálculo na substituição dos limites. Por exemplo, se você esquecesse de subtrair corretamente o valor em $x=1$ (que é $\frac{4}{3}$ ) e calculasse apenas $12 - \frac{?}{?}$ de forma incorreta, poderia chegar a $\frac{40}{3}$ . Não corresponde a nenhuma etapa correta do desenvolvimento.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $L = \int_1^3 (x^2+1)\,dx = \frac{32}{3}$ . A simplificação $1 + [f'(x)]^2 = (x^2+1)^2$ é o ponto-chave que torna a integral direta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{342}{5}$ é um distrator numérico sem relação com o cálculo correto. Não surge de nenhum erro comum de derivação ou integração; é apenas um número grande para confundir quem não consegue resolver a integral.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1016}{15}$ também é um distrator. Se o aluno errasse a derivada (por exemplo, esquecendo o fator $x$ ou errando a regra da cadeia), poderia chegar a uma expressão diferente e, integrando, obter um número como este. Não corresponde ao desenvolvimento correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{203}{3}$ é outro distrator. Poderia surgir de um erro na avaliação da integral, como calcular $\frac{3^3}{3} + 3$ como $9+3=12$ e depois, em vez de subtrair $\frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}$ , subtrair algo diferente. Não há nenhuma justificativa matemática para este valor.

Gabarito: letra B