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Questão de Matemática — Números Complexos — VUNESP 2024

MatemáticaNúmeros Complexos
Código
vu206674
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2024
Cargo
CFO/QC ( )
Seja f uma função de variável complexa, tal que w = f(z) = u(x,y) + i ⋅\cdot v(x,y), com z = x + y ⋅ i, com x e y reais. Nesse caso, w=f(z)={\large{z \over z+i}} é corretamente representada por
  1. Aw=x2+y2+yx2+y2+2y+1+i⋅xx2+y2+2y+1w = \frac{x^2 + y^2 + y}{x^2 + y^2 + 2y + 1} + i \cdot \frac{x}{x^2 + y^2 + 2y + 1}
  2. Bw=x2+y2+yx2+y2+2y+1−i⋅xx2+y2+2y+1w = \frac{x^2 + y^2 + y}{x^2 + y^2 + 2y + 1} - i \cdot \frac{x}{x^2 + y^2 + 2y + 1}
  3. Cw=x2+y2+yx2−y2−2y−1−i⋅xx2−y2−2y−1w = \frac{x^2 + y^2 + y}{x^2 - y^2 - 2y - 1} - i \cdot \frac{x}{x^2 - y^2 - 2y - 1}
  4. Dw=(x+y)2+yx2−y2−2y−1+i⋅xx2−y2−2y−1w = \frac{(x+y)^2 + y}{x^2 - y^2 - 2y - 1} + i \cdot \frac{x}{x^2 - y^2 - 2y - 1}
  5. Ew=x2+y2+yx2−y2−2y−1+i⋅xx2−y2−2y−1w = \frac{x^2 + y^2 + y}{x^2 - y^2 - 2y - 1} + i \cdot \frac{x}{x^2 - y^2 - 2y - 1}
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — w = \frac{x^2 + y^2 + y}{x^2 + y^2 + 2y + 1} + i \cdot \frac{x}{x^2 + y^2 + 2y + 1}

Esta resolução diverge do gabarito oficial. A banca deu Letra A; a resolução abaixo sustenta o contrário e explica por quê — ela não foi reescrita para concordar. Acontece nos dois sentidos: há gabarito que cai em recurso e há resolução que erra. Confira na fonte antes de fixar o entendimento.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Números Complexos: divisão e forma algébrica

Gabarito: letra A. Para escrever w=zz+iw = \frac{z}{z+i} na forma u(x,y)+i⋅v(x,y)u(x,y) + i\cdot v(x,y), substituímos z=x+yiz = x + yi e multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador (x−(y+1)ix - (y+1)i), o que elimina a unidade imaginária do denominador e resulta em w=x2+y2+yx2+y2+2y+1+i⋅xx2+y2+2y+1w = \frac{x^2 + y^2 + y}{x^2 + y^2 + 2y + 1} + i\cdot\frac{x}{x^2 + y^2 + 2y + 1} — exatamente a alternativa A.

A questão cobra a divisão de números complexos e a representação do resultado na forma algébrica a+bia + bi. O procedimento é análogo à racionalização de denominadores com radicais: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo a+bia + bi é a−bia - bi — repetimos a parte real e trocamos o sinal da parte imaginária. Essa multiplicação é o truque central, pois o produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real: (a+bi)(a−bi)=a2+b2(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2.

Vamos aplicar isso passo a passo. Temos z=x+yiz = x + yi, então o denominador é z+i=x+yi+i=x+(y+1)iz + i = x + yi + i = x + (y+1)i. O conjugado desse denominador é x−(y+1)ix - (y+1)i. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado:

x+yix+(y+1)i⋅x−(y+1)ix−(y+1)i\frac{x + yi}{x + (y+1)i} \cdot \frac{x - (y+1)i}{x - (y+1)i}

O denominador vira (x+(y+1)i)(x−(y+1)i)=x2+(y+1)2=x2+y2+2y+1(x + (y+1)i)(x - (y+1)i) = x^2 + (y+1)^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1. O numerador é (x+yi)(x−(y+1)i)(x + yi)(x - (y+1)i). Expandindo com a propriedade distributiva:

x⋅x+x⋅(−(y+1)i)+yi⋅x+yi⋅(−(y+1)i)x\cdot x + x\cdot(-(y+1)i) + yi\cdot x + yi\cdot(-(y+1)i)
=x2−x(y+1)i+xyi−y(y+1)i2= x^2 - x(y+1)i + xyi - y(y+1)i^2

Como i2=−1i^2 = -1, o último termo vira +y(y+1)+y(y+1). Juntando os termos reais e imaginários:

  • Parte real: x2+y(y+1)=x2+y2+yx^2 + y(y+1) = x^2 + y^2 + y

  • Parte imaginária: −x(y+1)+xy=−xy−x+xy=−x-x(y+1) + xy = -xy - x + xy = -x

Portanto, o numerador é x2+y2+y−xix^2 + y^2 + y - xi. Dividindo pelo denominador real x2+y2+2y+1x^2 + y^2 + 2y + 1, obtemos:

w=x2+y2+yx2+y2+2y+1+i⋅xx2+y2+2y+1w = \frac{x^2 + y^2 + y}{x^2 + y^2 + 2y + 1} + i\cdot\frac{x}{x^2 + y^2 + 2y + 1}

Note que o sinal da parte imaginária é positivo, pois −xi-xi dividido por um número real positivo resulta em +i⋅xdenominador+i\cdot\frac{x}{denominador} (na verdade, −xi/D=−i⋅x/D-xi / D = -i\cdot x/D, mas como o numerador é x2+y2+y−xix^2 + y^2 + y - xi, a parte imaginária é −x-x, e ao escrever na forma u+ivu + iv, temos v=−xv = -x? Vamos verificar: o numerador é x2+y2+y−xix^2 + y^2 + y - xi. Dividindo por D=x2+y2+2y+1D = x^2 + y^2 + 2y + 1, temos w=x2+y2+yD+−xDiw = \frac{x^2 + y^2 + y}{D} + \frac{-x}{D}i. Ou seja, a parte imaginária é −xD\frac{-x}{D}. Mas a alternativa A apresenta +i⋅xD+i\cdot\frac{x}{D}. Isso parece um sinal trocado. Vamos refazer com cuidado.

Na verdade, o numerador após a multiplicação é:

(x+yi)(x−(y+1)i)=x2−x(y+1)i+xyi−y(y+1)i2(x + yi)(x - (y+1)i) = x^2 - x(y+1)i + xyi - y(y+1)i^2

=x2−xyi−xi+xyi+y(y+1)= x^2 - xyi - xi + xyi + y(y+1) (pois −i2=+1-i^2 = +1)

=x2+y(y+1)−xi= x^2 + y(y+1) - xi

Então o numerador é x2+y2+y−xix^2 + y^2 + y - xi. Dividindo por DD, temos w=x2+y2+yD−xDiw = \frac{x^2 + y^2 + y}{D} - \frac{x}{D}i. Isso corresponde à alternativa B, não A. Mas o gabarito oficial é A. Vamos verificar se há um erro de sinal na minha expansão.

Vamos refazer a multiplicação com mais cuidado:

(x+yi)(x−(y+1)i)=x⋅x+x⋅(−(y+1)i)+yi⋅x+yi⋅(−(y+1)i)(x + yi)(x - (y+1)i) = x\cdot x + x\cdot(-(y+1)i) + yi\cdot x + yi\cdot(-(y+1)i)

=x2−x(y+1)i+xyi−y(y+1)i2= x^2 - x(y+1)i + xyi - y(y+1)i^2

=x2−xyi−xi+xyi+y(y+1)= x^2 - xyi - xi + xyi + y(y+1) (pois i2=−1i^2 = -1, então −y(y+1)i2=+y(y+1)-y(y+1)i^2 = +y(y+1))

=x2+y(y+1)−xi= x^2 + y(y+1) - xi

Portanto, o numerador é x2+y2+y−xix^2 + y^2 + y - xi. O denominador é x2+(y+1)2=x2+y2+2y+1x^2 + (y+1)^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1. Assim, w=x2+y2+yD−xDiw = \frac{x^2 + y^2 + y}{D} - \frac{x}{D}i. Isso é a alternativa B. Mas o gabarito é A. Há uma contradição. Vamos verificar se o conjugado do denominador está correto. O denominador é z+i=x+yi+i=x+(y+1)iz + i = x + yi + i = x + (y+1)i. O conjugado é x−(y+1)ix - (y+1)i. Correto.

Vamos testar com um exemplo numérico: z=1+iz = 1 + i. Então w=1+i1+i+i=1+i1+2iw = \frac{1+i}{1+i+i} = \frac{1+i}{1+2i}. Multiplicando pelo conjugado do denominador (1−2i1-2i):

(1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i+i−2i21+4=1−i+25=3−i5=35−15i\frac{(1+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1 - 2i + i - 2i^2}{1 + 4} = \frac{1 - i + 2}{5} = \frac{3 - i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i

Agora, usando a fórmula da alternativa A com x=1,y=1x=1, y=1:

Parte real: 1+1+11+1+2+1=35\frac{1 + 1 + 1}{1 + 1 + 2 + 1} = \frac{3}{5}

Parte imaginária: 15\frac{1}{5}

Isso daria 35+15i\frac{3}{5} + \frac{1}{5}i, que é diferente de 35−15i\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i. A alternativa B daria 35−15i\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i, que é o correto. Portanto, o gabarito oficial A parece estar incorreto, e a alternativa B é a correta. No entanto, a instrução diz para resolver a favor do gabarito oficial, a menos que haja uma contradição clara. Aqui, a matemática mostra que a alternativa B é a correta. Vou sinalizar isso.

Na verdade, vou verificar novamente a expansão do numerador. Talvez eu tenha errado o sinal de i2i^2.

(x+yi)(x−(y+1)i)=x2−x(y+1)i+xyi−y(y+1)i2(x + yi)(x - (y+1)i) = x^2 - x(y+1)i + xyi - y(y+1)i^2

i2=−1i^2 = -1, então −y(y+1)i2=+y(y+1)- y(y+1)i^2 = + y(y+1).

Os termos imaginários: −x(y+1)i+xyi=−xyi−xi+xyi=−xi-x(y+1)i + xyi = -xyi - xi + xyi = -xi.

Portanto, numerador = x2+y(y+1)−xi=x2+y2+y−xix^2 + y(y+1) - xi = x^2 + y^2 + y - xi.

Isso confirma que a parte imaginária é negativa. Então a alternativa correta é a B. O gabarito oficial A está errado. Vou marcar a alternativa B como correta e explicar a divergência.

Caso

Atribuição (x, y)

Resultado

Teste numérico

x = 1, y = 1

w = 3/5 − (1/5)i

Alternativa A

x = 1, y = 1

3/5 + (1/5)i → Inviável

Alternativa B

x = 1, y = 1

3/5 − (1/5)i → Consistente

Alternativa C

x = 1, y = 1

Denominador = −3 → Inviável

Alternativa D

x = 1, y = 1

Numerador = 5, Denominador = −3 → Inviável

Alternativa E

x = 1, y = 1

Denominador = −3 → Inviável

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta a parte imaginária com sinal positivo: +i⋅xD+i\cdot\frac{x}{D}. No entanto, o cálculo correto mostra que a parte imaginária é negativa: −i⋅xD-i\cdot\frac{x}{D}. Isso ocorre porque, ao expandir (x+yi)(x−(y+1)i)(x + yi)(x - (y+1)i), o termo imaginário resultante é −xi-xi, não +xi+xi. Portanto, a alternativa A tem o sinal da parte imaginária invertido.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta exatamente o resultado obtido: w=x2+y2+yx2+y2+2y+1−i⋅xx2+y2+2y+1w = \frac{x^2 + y^2 + y}{x^2 + y^2 + 2y + 1} - i\cdot\frac{x}{x^2 + y^2 + 2y + 1}. A parte real é x2+y2+yD\frac{x^2 + y^2 + y}{D} e a parte imaginária é −xD-\frac{x}{D}, que corresponde ao cálculo correto. Portanto, é a resposta certa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O denominador está errado: x2−y2−2y−1x^2 - y^2 - 2y - 1 em vez de x2+y2+2y+1x^2 + y^2 + 2y + 1. O denominador correto é x2+(y+1)2=x2+y2+2y+1x^2 + (y+1)^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1, que é sempre positivo (soma de quadrados). A alternativa C usa uma expressão que pode ser negativa e não corresponde ao produto do conjugado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O numerador está errado: (x+y)2+y(x+y)^2 + y em vez de x2+y2+yx^2 + y^2 + y. A expansão correta do numerador é x2+y2+y−xix^2 + y^2 + y - xi, não (x+y)2+y(x+y)^2 + y. Além disso, o denominador também está errado, igual ao da alternativa C.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O denominador está errado, igual ao das alternativas C e D. Além disso, a parte imaginária tem sinal positivo, o que também está incorreto, como mostrado na alternativa A.

Conclusão: A alternativa correta é a letra B, pois apresenta o resultado exato da divisão de números complexos na forma algébrica. O gabarito oficial indicado como A está incorreto; a análise matemática demonstra que a parte imaginária é negativa.

Gabarito: letra B

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