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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu206675
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2024
Cargo
CFO/QC ( )
Considere que o vetor projeção de um vetor a⃗\vec{a} sobre um o vetor b⃗\vec{b}, ambos não nulos, seja definido pela seguinte aplicação do produto escalar: proj\text{proj}_{b⃗\vec{b}} a⃗\vec{a} = a⃗⋅b⃗b⃗⋅b⃗\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} b⃗\vec{b} Considere, também, os seguintes pontos em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço: A(0, 0, 0), B(0, 5n, 0) e C(1, 2, 0). Nessas condições, o valor de n para que o vetor projeção ortogonal do vetor v⃗\vec{v} = AB⃗\vec{AB} sobre o vetor u⃗\vec{u} = AC⃗\vec{AC} tenha módulo de 5 unidades, deve ser igual a
  1. A-{\large{\sqrt5 \over 2}} ou {\large{\sqrt5 \over 2}}
  2. B−102 ou102-{\large{\sqrt{10} \over 2}} ou {\large{\sqrt{10} \over 2}}
  3. C−1010 ou1010-{\large{\sqrt{10} \over 10}} ou {\large{\sqrt{10} \over 10}}
  4. D-{\large{\sqrt5 \over 10}} ou {\large{\sqrt5 \over 10}}
  5. E-{\large{2 \sqrt5 \over 5}} ou {\large{2\sqrt5 \over 5}}
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — -{\large{\sqrt5 \over 2}} ou {\large{\sqrt5 \over 2}}

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Projeção ortogonal de vetores

Gabarito: letra A — o valor de nn que torna o módulo da projeção ortogonal de AB⃗\vec{AB} sobre AC⃗\vec{AC} igual a 5 é ±52\pm \frac{\sqrt{5}}{2}. A resolução usa a fórmula da projeção dada no enunciado, calcula os vetores AB⃗\vec{AB} e AC⃗\vec{AC}, aplica o produto escalar e resolve a equação modular resultante.

O que é projeção ortogonal?

A projeção ortogonal de um vetor a⃗\vec{a} sobre outro vetor b⃗\vec{b} (não nulo) é o vetor que representa a "sombra" de a⃗\vec{a} na direção de b⃗\vec{b}. A fórmula fornecida no enunciado é a definição clássica:

projb⃗a⃗=a⃗⋅b⃗b⃗⋅b⃗b⃗\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \vec{b}

O escalar a⃗⋅b⃗b⃗⋅b⃗\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} é o fator que multiplica o vetor b⃗\vec{b}, resultando em um vetor paralelo a b⃗\vec{b} com o comprimento da projeção. O módulo desse vetor é o que o problema pede.

Passo a passo da resolução

  1. Determinar os vetores AB⃗\vec{AB} e AC⃗\vec{AC}:

    • AB⃗=B−A=(0,5n,0)−(0,0,0)=(0,5n,0)\vec{AB} = B - A = (0, 5n, 0) - (0, 0, 0) = (0, 5n, 0)

    • AC⃗=C−A=(1,2,0)−(0,0,0)=(1,2,0)\vec{AC} = C - A = (1, 2, 0) - (0, 0, 0) = (1, 2, 0)

  1. Calcular o produto escalar AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC}:

    AB⃗⋅AC⃗=(0)(1)+(5n)(2)+(0)(0)=10n\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0)(1) + (5n)(2) + (0)(0) = 10n

  1. Calcular o produto escalar AC⃗⋅AC⃗\vec{AC} \cdot \vec{AC} (norma ao quadrado de AC⃗\vec{AC}):

    AC⃗⋅AC⃗=12+22+02=5\vec{AC} \cdot \vec{AC} = 1^2 + 2^2 + 0^2 = 5

  1. Aplicar a fórmula da projeção:

    projAC⃗AB⃗=10n5AC⃗=2n⋅(1,2,0)=(2n,4n,0)\text{proj}_{\vec{AC}} \vec{AB} = \frac{10n}{5} \vec{AC} = 2n \cdot (1, 2, 0) = (2n, 4n, 0)

  1. Calcular o módulo da projeção:

    ∣projAC⃗AB⃗∣=(2n)2+(4n)2+02=4n2+16n2=20n2=25∣n∣|\text{proj}_{\vec{AC}} \vec{AB}| = \sqrt{(2n)^2 + (4n)^2 + 0^2} = \sqrt{4n^2 + 16n^2} = \sqrt{20n^2} = 2\sqrt{5}|n|

  1. Igualar ao módulo dado (5 unidades) e resolver:

    25∣n∣=5⇒∣n∣=525=522\sqrt{5}|n| = 5 \Rightarrow |n| = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

    Portanto, n=±52n = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}.

A pegadinha da questão

A banca explora a omissão do módulo ao extrair a raiz quadrada. Ao resolver n2=54n^2 = \frac{5}{4}, muitos candidatos esquecem que nn pode ser positivo ou negativo, marcando apenas 52\frac{\sqrt{5}}{2}. A alternativa correta apresenta as duas possibilidades, ±52\pm \frac{\sqrt{5}}{2}.

NÃO CAIA NESSA!

A banca adora esquecer que a raiz quadrada de um número positivo tem duas soluções: uma positiva e uma negativa. Ao resolver n2=54n^2 = \frac{5}{4}, lembre-se: n=±52n = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}. Se a alternativa só trouxer o valor positivo, desconfie — a negativa também satisfaz a equação.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o módulo da projeção é 25∣n∣2\sqrt{5}|n|. Igualando a 5, obtemos ∣n∣=52|n| = \frac{\sqrt{5}}{2}, o que implica n=±52n = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}. A alternativa apresenta exatamente esses dois valores.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta ±102\pm \frac{\sqrt{10}}{2}. Esse valor surgiria se o produto escalar fosse 10n10n e a norma de AC⃗\vec{AC} ao quadrado fosse 2, o que não é o caso. O erro está no cálculo da norma de AC⃗\vec{AC}: 12+22=51^2 + 2^2 = 5, não 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta ±1010\pm \frac{\sqrt{10}}{10}. Esse valor não corresponde a nenhum passo da resolução. Provavelmente, o candidato errou ao calcular o produto escalar ou a norma, ou inverteu a fração.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta ±510\pm \frac{\sqrt{5}}{10}. Esse valor seria obtido se o módulo da projeção fosse 105∣n∣10\sqrt{5}|n|, o que não ocorre. O erro pode estar em multiplicar por 2 em vez de dividir, ou em um equívoco na extração da raiz.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta ±255\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}. Esse valor é o inverso do correto. O candidato pode ter calculado ∣n∣=525|n| = \frac{5}{2\sqrt{5}} e racionalizado de forma incorreta, ou invertido a fração.

Gabarito: letra A

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