Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — VUNESP 2024

Binômio de Newton: encontrando o coeficiente de um termo específico

Gabarito: letra E — o coeficiente do termo em que ocorre $a^7$ é $k = 25$, que está no intervalo $24 < k < 26$. Para encontrar esse coeficiente, usamos o termo geral do binômio de Newton, identificamos o expoente de $a$ e calculamos o coeficiente binomial correspondente.

O binômio de Newton é uma fórmula que permite expandir potências da forma $(x + y)^n$ sem precisar multiplicar o binômio por ele mesmo $n$ vezes. A expansão é uma soma de termos, cada um com um coeficiente binomial, que pode ser calculado pela fórmula $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$. O termo geral do desenvolvimento de $(x + y)^n$ é dado por $T_{p+1} = \binom{n}{p} x^{n-p} y^p$, onde $p$ varia de $0$ a $n$. Esse termo geral é a ferramenta central para resolver problemas que pedem um termo específico, como o coeficiente de uma determinada potência de uma variável.

No nosso caso, temos o binômio $\left(\frac{a}{2} + 3b\right)^{10}$. Aqui, $x = \frac{a}{2}$, $y = 3b$ e $n = 10$. O termo geral fica:

Queremos o termo em que ocorre $a^7$. Isso significa que o expoente de $a$ no termo deve ser 7. No termo geral, o expoente de $a$ é $10 - p$. Portanto, precisamos resolver $10 - p = 7$, o que nos dá $p = 3$.

Substituindo $p = 3$ no termo geral, obtemos:

O coeficiente $k$ desse termo é o produto de todos os fatores que não dependem de $a$ e $b$. Vamos calcular:

1. O coeficiente binomial: $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.

2. O coeficiente de $\left(\frac{a}{2}\right)^7$: $\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1}{128}$.

3. O coeficiente de $(3b)^3$: $3^3 = 27$.

Multiplicando tudo, temos:

O coeficiente $k$ é $25,3125$, que está entre 24 e 26. Portanto, a alternativa correta é a letra E.

A pegadinha dessa questão está em não confundir o expoente de $a$ com o valor de $p$. O candidato pode, por exemplo, pensar que $p = 7$ (o expoente de $a$) e calcular $\binom{10}{7}$, o que daria um coeficiente diferente. É fundamental lembrar que no termo geral, o expoente de $x$ é $n-p$, e é esse expoente que devemos igualar ao valor desejado.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $22 < k < 24$. O valor correto é $k \approx 25,31$, que está fora desse intervalo. Esse intervalo seria obtido se o coeficiente binomial fosse calculado incorretamente, por exemplo, usando $\binom{10}{4} = 210$ e esquecendo de dividir por $2^7$, o que daria $210 \cdot 27 = 5670$, um valor muito maior. Ou ainda, se o candidato calculasse $\binom{10}{3} = 120$ e dividisse apenas por $2^3 = 8$, obtendo $120 \cdot 27 / 8 = 405$, que também não está no intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $28 < k < 30$. O valor correto é $k \approx 25,31$, que está fora desse intervalo. Esse intervalo poderia ser obtido se o candidato calculasse $\binom{10}{3} = 120$ e multiplicasse por $3^3 = 27$ sem dividir por $2^7$, resultando em $3240$, um valor muito maior. Ou se usasse $\binom{10}{2} = 45$ e $3^3 = 27$, obtendo $45 \cdot 27 = 1215$, que também não está no intervalo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $26 < k < 28$. O valor correto é $k \approx 25,31$, que está fora desse intervalo. Esse intervalo seria obtido se o candidato calculasse $\binom{10}{3} = 120$ e dividisse por $2^6 = 64$, obtendo $120 \cdot 27 / 64 = 50,625$, que é maior que 28. Ou se usasse $\binom{10}{4} = 210$ e dividisse por $2^7 = 128$, obtendo $210 \cdot 27 / 128 = 44,3$, que também está fora.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $20 < k < 22$. O valor correto é $k \approx 25,31$, que está fora desse intervalo. Esse intervalo seria obtido se o candidato calculasse $\binom{10}{3} = 120$ e dividisse por $2^8 = 256$, obtendo $120 \cdot 27 / 256 = 12,65$, que é menor que 20. Ou se usasse $\binom{10}{5} = 252$ e dividisse por $2^7 = 128$, obtendo $252 \cdot 27 / 128 = 53,15$, que também está fora.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $24 < k < 26$. O valor correto é $k = 25,3125$, que está exatamente nesse intervalo. O cálculo correto envolve identificar que o expoente de $a$ é $10 - p = 7$, logo $p = 3$, e então calcular o coeficiente binomial $\binom{10}{3} = 120$, multiplicar por $3^3 = 27$ e dividir por $2^7 = 128$, resultando em $k = 25,3125$.

Gabarito: letra E