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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206677
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2024
Cargo
CFO/QC ( )
Em um escritório, dois colaboradores têm salários de R$ 2.003,00 cada um, três colaboradores têm salários de R$ 1.500,00, cada um, e, sobre os outros dois colaboradores, um deles tem o salário que é múltiplo do salário do outro colaborador, que tem o menor salário pago no escritório. Sabendo-se que todos os salários correspondem a números inteiros, que a média aritmética simples dos salários pagos a esses colaboradores é de R$ 2.428,00, e que nenhum colaborador do escritório tem salário menor do que R$ 1.412,00, a diferença entre o maior e o menor salário pagos aos colaboradores desse escritório é de
  1. AR$ 5.630,00.
  2. BR$ 5.670,00.
  3. CR$ 5.660,00.
  4. DR$ 5.640,00.
  5. ER$ 5.650,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — R$ 5.660,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 5.660,00 — alternativa C.

A ideia por trás

A média aritmética é o valor que representa um conjunto de números: somamos todos e dividimos pela quantidade. Aqui ela serve para fixar a soma total dos salários, já que conhecemos a média e o número de colaboradores. Já a ideia de múltiplo é a base da divisibilidade: um número é múltiplo de outro quando a divisão é exata, ou seja, quando um é o outro multiplicado por um inteiro.

A média aritmética simples de n valores é a soma deles dividida por n. Se conhecemos a média e n, podemos recuperar a soma total. Para os múltiplos, se x é múltiplo de y, então x = k·y com k inteiro positivo. Isso transforma a soma x + y em y(k+1), o que permite usar a fatoração do total para achar os valores possíveis.

Esta questão combina as duas ideias: primeiro usamos a média para achar a soma dos dois salários desconhecidos, depois usamos a condição de múltiplo e o piso mínimo para restringir quais pares de números inteiros podem ser esses salários.

O que a questão dá

  • 2 colaboradores com salário de R$ 2.003,00 cada

  • 3 colaboradores com salário de R$ 1.500,00 cada

  • 2 colaboradores com salários desconhecidos, um múltiplo do outro

  • média aritmética dos salários = R$ 2.428,00

  • nenhum salário menor que R$ 1.412,00

O que queremos: a diferença entre o maior e o menor salário do escritório

Passo 1 — Calcular a soma total dos salários

A média é a soma dividida pela quantidade. Como temos 7 colaboradores e a média é R$ 2.428,00, multiplicar a média pela quantidade devolve a soma de todos os salários — é o primeiro passo porque é a informação que ancora todo o resto.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: média = soma / quantidade. Isolando a soma, multiplicamos os dois lados pela quantidade.

Stotal=meˊdia×quantidadeS_{total} = \text{média} \times \text{quantidade}

De onde vem cada valor: meˊdia\text{média} = enunciado: R$ 2.428,00 · quantidade\text{quantidade} = enunciado: 2 + 3 + 2 = 7 colaboradores

Stotal=2428×7S_{total} = 2428 \times 7

StotalS_{total} = R$ 16.996,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar os 2 colaboradores de salário desconhecido e usar 5 no lugar de 7 — a soma sai errada.

Passo 2 — Somar os salários conhecidos

Para descobrir quanto falta, precisamos saber quanto já está pago. Somamos os salários dos 5 colaboradores cujos valores são dados.

Por que esta fórmula: É uma soma direta dos valores conhecidos, cada um multiplicado pela quantidade de colaboradores que o recebe.

Sconhecidos=2×2003+3×1500S_{conhecidos} = 2 \times 2003 + 3 \times 1500

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: dois colaboradores com R$ 2.003,00 · 20032003 = enunciado: salário de R$ 2.003,00 · 33 = enunciado: três colaboradores com R$ 1.500,00 · 15001500 = enunciado: salário de R$ 1.500,00

Sconhecidos=2×2003+3×1500=4006+4500S_{conhecidos} = 2 \times 2003 + 3 \times 1500 = 4006 + 4500

SconhecidosS_{conhecidos} = R$ 8.506,00

NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas 2003 + 1500 sem multiplicar pelas quantidades — dá um valor muito menor.

Passo 3 — Achar a soma dos salários desconhecidos

A soma total é a soma dos conhecidos mais a dos desconhecidos. Subtraindo os conhecidos do total, isolamos a soma dos dois salários que queremos descobrir.

Por que esta fórmula: É a relação entre o todo e as partes: total = conhecidos + desconhecidos, então desconhecidos = total - conhecidos.

x+y=Stotal−Sconhecidosx + y = S_{total} - S_{conhecidos}

De onde vem cada valor: StotalS_{total} = passo 1: R$ 16.996,00 · SconhecidosS_{conhecidos} = passo 2: R$ 8.506,00

x+y=16996−8506x + y = 16996 - 8506

R$ 8.490,00

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (conhecidos - total) e obter número negativo.

Passo 4 — Fatorar a soma dos salários desconhecidos

A condição de um salário ser múltiplo do outro transforma a soma em um produto: se x = k·y, então x + y = y(k+1). Para achar os valores possíveis de y, precisamos dos divisores de 8.490, e a fatoração em primos é o caminho organizado para listá-los.

Por que esta fórmula: Fatorar um número é escrevê-lo como produto de primos; isso permite gerar todos os divisores. Aqui, 8.490 = 2 × 3 × 5 × 283, e os divisores são combinações desses primos.

8490=2×3×5×2838490 = 2 \times 3 \times 5 \times 283

De onde vem cada valor: 84908490 = passo 3: soma dos salários desconhecidos · 22 = constante: fator primo de 8490 · 33 = constante: fator primo de 8490 · 55 = constante: fator primo de 8490 · 283283 = constante: fator primo de 8490

8490=2×3×5×2838490 = 2 \times 3 \times 5 \times 283

84908490 = fatoração completa

NÃO CAIA NESSA!

Fatorar errado, por exemplo esquecer o 283 e achar que 8490 é divisível por 7.

Passo 5 — Listar os divisores acima do piso

O salário menor (y) precisa ser divisor de 8.490 e também não pode ser menor que R$ 1.412,00. Então filtramos os divisores que respeitam esse piso.

Por que esta fórmula: Os divisores de um número são obtidos combinando os fatores primos. Precisamos apenas dos que são ≥ 1.412, pois o menor salário não pode ser abaixo disso.

divisores de 8490≥1412\text{divisores de } 8490 \geq 1412

De onde vem cada valor: 84908490 = passo 3 · 14121412 = enunciado: piso mínimo

divisores: 1415,1698,2830,4245,8490=1.415 ,1.698,2.830,4.245,8.490\text{divisores: } 1415, 1698, 2830, 4245, 8490 = \boxed{1.415\ , 1.698, 2.830, 4.245, 8.490}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de verificar o piso e incluir divisores menores, como 1.415 é o primeiro acima do piso.

Passo 6 — Testar cada divisor como o salário menor

Cada divisor candidato y gera um k = (8490/y) - 1 e um x = k·y. Precisamos ver qual par satisfaz todas as condições e produz uma diferença que esteja nas alternativas.

Por que esta fórmula: Da relação x + y = y(k+1), isolamos k = (x+y)/y - 1. Testamos cada y da lista e calculamos x.

k=8490y−1,x=k⋅yk = \frac{8490}{y} - 1, \quad x = k \cdot y

De onde vem cada valor: 84908490 = passo 3 · yy = passo 5: cada divisor listado

para y=1415:k=8490/1415−1=6−1=5,x=5×1415=7075=par(1415,7075)satisfaz\text{para } y=1415: k = 8490/1415 - 1 = 6 - 1 = 5, x = 5 \times 1415 = 7075 = \boxed{\text{par} (1415, 7075) \text{satisfaz}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no primeiro divisor que dá inteiro sem conferir se a diferença bate com as alternativas.

Passo 7 — Calcular a diferença entre os salários

A pergunta final é a diferença entre o maior e o menor salário. Com o par encontrado, subtraímos o menor do maior.

Por que esta fórmula: Diferença é a subtração entre os dois valores.

diferenc¸a=x−y\text{diferença} = x - y

De onde vem cada valor: xx = passo 6: 7.075 · yy = passo 6: 1.415

diferenc¸a=7075−1415\text{diferença} = 7075 - 1415

diferenc¸a\text{diferença} = R$ 5.660,00

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário e obter valor negativo.

Resposta: R$ 5.660,00 — alternativa C

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