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Questão de Matemática — Função Logarítmica e Inequações Logarítmicas — VUNESP 2024

MatemáticaFunção Logarítmica e Inequações Logarítmicas
Código
vu206679
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2024
Cargo
CFO/QC ( )
Na função representada por y = f(x) = ln⁡\ln \left(x^2 - 10)/(x), a equação geral da reta tangente a f, no ponto de abscissa 4, é
  1. Ay=1312x−133+ln⁡(32)y = \frac{13}{12}x - \frac{13}{3} + \ln\left(\frac{3}{2}\right)
  2. By=1312x+133+ln⁡(32)y = \frac{13}{12}x + \frac{13}{3} + \ln\left(\frac{3}{2}\right)
  3. Cy=1912x−193+ln⁡(32)y = \frac{19}{12}x - \frac{19}{3} + \ln\left(\frac{3}{2}\right)
  4. Dy=763x+3043+ln⁡(32)y = \frac{76}{3}x + \frac{304}{3} + \ln\left(\frac{3}{2}\right)
  5. Ey=763x−3043+ln⁡(32)y = \frac{76}{3}x - \frac{304}{3} + \ln\left(\frac{3}{2}\right)
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GabaritoA — y = \frac{13}{12}x - \frac{13}{3} + \ln\left(\frac{3}{2}\right)

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Reta tangente à função logarítmica

Gabarito: letra A. A equação da reta tangente a f(x)=ln⁡(x2−10x)f(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 10}{x}\right) no ponto de abscissa x=4x=4 é y=1312x−133+ln⁡(32)y = \frac{13}{12}x - \frac{13}{3} + \ln\left(\frac{3}{2}\right), obtida pela fórmula y−f(4)=f′(4)(x−4)y - f(4) = f'(4)(x - 4), com f(4)=ln⁡(32)f(4) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) e f′(4)=1312f'(4) = \frac{13}{12}.

A reta tangente a uma função ff em um ponto de abscissa x0x_0 é a reta que melhor aproxima o gráfico de ff nas proximidades desse ponto. Geometricamente, é a reta que "encosta" na curva no ponto (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) e que tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto. Essa inclinação é dada pela derivada de ff avaliada em x0x_0, ou seja, f′(x0)f'(x_0).

A equação geral da reta tangente é construída a partir de dois elementos: o ponto de tangência (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) e o coeficiente angular m=f′(x0)m = f'(x_0). Com eles, usamos a forma ponto-inclinação da reta:

y−f(x0)=f′(x0)⋅(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0)

Para aplicar essa fórmula, precisamos calcular f(4)f(4) e f′(4)f'(4).

1. Cálculo de f(4)f(4):

Substituindo x=4x = 4 na função:

f(4)=ln⁡(42−104)=ln⁡(16−104)=ln⁡(64)=ln⁡(32)f(4) = \ln\left(\frac{4^2 - 10}{4}\right) = \ln\left(\frac{16 - 10}{4}\right) = \ln\left(\frac{6}{4}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right)

2. Cálculo de f′(x)f'(x):

A função é f(x)=ln⁡(g(x))f(x) = \ln(g(x)), onde g(x)=x2−10xg(x) = \frac{x^2 - 10}{x}. Pela regra da cadeia, a derivada é:

f′(x)=1g(x)⋅g′(x)f'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)

Primeiro, simplificamos g(x)g(x):

g(x)=x2−10x=x−10x=x−10x−1g(x) = \frac{x^2 - 10}{x} = x - \frac{10}{x} = x - 10x^{-1}

Agora, derivamos g(x)g(x):

g′(x)=1−10⋅(−1)x−2=1+10x2g'(x) = 1 - 10 \cdot (-1) x^{-2} = 1 + \frac{10}{x^2}

Portanto:

f′(x)=1x−10x⋅(1+10x2)f'(x) = \frac{1}{x - \frac{10}{x}} \cdot \left(1 + \frac{10}{x^2}\right)

3. Cálculo de f′(4)f'(4):

Substituindo x=4x = 4:

f′(4)=14−104⋅(1+1016)=14−52⋅(1+58)=182−52⋅138=132⋅138=23⋅138=2624=1312f'(4) = \frac{1}{4 - \frac{10}{4}} \cdot \left(1 + \frac{10}{16}\right) = \frac{1}{4 - \frac{5}{2}} \cdot \left(1 + \frac{5}{8}\right) = \frac{1}{\frac{8}{2} - \frac{5}{2}} \cdot \frac{13}{8} = \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot \frac{13}{8} = \frac{2}{3} \cdot \frac{13}{8} = \frac{26}{24} = \frac{13}{12}

4. Montagem da equação da reta tangente:

Usando a forma ponto-inclinação com x0=4x_0 = 4, f(4)=ln⁡(32)f(4) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) e f′(4)=1312f'(4) = \frac{13}{12}:

y−ln⁡(32)=1312(x−4)y - \ln\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{13}{12}(x - 4)
y=1312x−1312⋅4+ln⁡(32)y = \frac{13}{12}x - \frac{13}{12} \cdot 4 + \ln\left(\frac{3}{2}\right)
y=1312x−5212+ln⁡(32)y = \frac{13}{12}x - \frac{52}{12} + \ln\left(\frac{3}{2}\right)
y=1312x−133+ln⁡(32)y = \frac{13}{12}x - \frac{13}{3} + \ln\left(\frac{3}{2}\right)

A alternativa correta é a letra A.

  1. 1Calcular f(4)
  2. 2Derivar f(x) (regra da cadeia)
  3. 3Avaliar f'(4)
  4. 4Aplicar y - f(4) = f'(4)(x-4)
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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta exatamente a equação encontrada: coeficiente angular 1312\frac{13}{12}, termo independente −133-\frac{13}{3} e o logaritmo ln⁡(32)\ln\left(\frac{3}{2}\right). O cálculo de f′(4)f'(4) e f(4)f(4) confirma cada termo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O erro está no sinal do termo independente: apresenta +133+\frac{13}{3} em vez de −133-\frac{13}{3}. Isso ocorre quando o candidato erra o sinal ao expandir 1312(x−4)\frac{13}{12}(x - 4): o correto é 1312x−133\frac{13}{12}x - \frac{13}{3}, e não 1312x+133\frac{13}{12}x + \frac{13}{3}.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O erro está no coeficiente angular: apresenta 1912\frac{19}{12} em vez de 1312\frac{13}{12}. Esse valor surgiria de um erro no cálculo da derivada, como por exemplo derivar x2−10x\frac{x^2 - 10}{x} como 2x1\frac{2x}{1} (esquecendo a regra do quociente) e obter 1x2−10⋅2x\frac{1}{x^2-10} \cdot 2x, que em x=4x=4 daria 86=43\frac{8}{6} = \frac{4}{3}, ou outro equívoco na simplificação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O erro é duplo: o coeficiente angular 763\frac{76}{3} e o termo independente +3043+\frac{304}{3} estão incorretos. Esses valores não correspondem a nenhum passo correto do cálculo. O coeficiente 763\frac{76}{3} poderia surgir de um erro na regra da cadeia, como multiplicar 1312\frac{13}{12} por um fator errado, e o termo independente com sinal trocado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O erro está no coeficiente angular 763\frac{76}{3}, que é incorreto. O termo independente −3043-\frac{304}{3} também está errado. Esses valores não têm relação com o cálculo correto da derivada e da equação da reta tangente.

Gabarito: letra A

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