Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206680

Função quadrática e progressões aritméticas

Gabarito: letra D. Se a sequência das diferenças $d_n = f(x_{n+1}) - f(x_n)$ é uma progressão aritmética não degenerada, então a função $f$ deve ser, necessariamente, uma função quadrática. Isso decorre do fato de que, para uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ , a diferença $f(x+h) - f(x)$ é uma função afim em $x$ (e, portanto, uma PA quando avaliada em pontos igualmente espaçados), enquanto para uma função afim essa diferença seria constante, o que contraria a condição de a PA ser não degenerada.

A ideia por trás

O problema explora a relação entre o tipo de função e o comportamento de suas diferenças sucessivas. Quando aplicamos uma função a uma progressão aritmética (PA), a sequência das diferenças dos valores da função revela a "natureza" da função. Vamos entender isso passo a passo.

1. O que é uma progressão aritmética (PA)?

Uma PA é uma sequência em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão ( $r$ ). Por exemplo, a sequência $(4, 7, 10, 13, \dots)$ é uma PA de razão $r = 3$ . O termo geral de uma PA é dado por $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$ .

2. O que o enunciado afirma?

Temos uma PA não constante $(x_1, x_2, x_3, \dots)$ , ou seja, a razão entre seus termos é diferente de zero. Aplicamos uma função $f$ a cada termo dessa PA e calculamos as diferenças entre os valores consecutivos:

$d_1 = f(x_2) - f(x_1)$
$d_2 = f(x_3) - f(x_2)$
$d_3 = f(x_4) - f(x_3)$
...

O enunciado afirma que a sequência $(d_1, d_2, d_3, \dots)$ também é uma PA, mas não degenerada, ou seja, sua razão é diferente de zero.

3. Analisando cada tipo de função:

Função afim $f(x) = ax + b$ : A diferença entre dois valores consecutivos é $f(x_{n+1}) - f(x_n) = a(x_{n+1} - x_n) = a \cdot r$ , que é uma constante. Portanto, a sequência das diferenças seria uma PA constante (razão zero), o que é proibido pelo enunciado (não degenerada).

Função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ : A diferença entre dois valores consecutivos é:

f(x_{n+1}) - f(x_n) = a(x_{n+1}^2 - x_n^2) + b(x_{n+1} - x_n)

Como $x_{n+1} - x_n = r$ (razão da PA), temos:

f(x_{n+1}) - f(x_n) = a(x_{n+1} - x_n)(x_{n+1} + x_n) + b \cdot r = a \cdot r \cdot (x_{n+1} + x_n) + b \cdot r

Como $x_n$ é uma PA, a soma $x_{n+1} + x_n$ também é uma PA (pois é a soma de duas PAs). Portanto, a sequência das diferenças é uma PA não constante (desde que $a \neq 0$ ), com razão $2a \cdot r^2$ . Isso satisfaz a condição do enunciado.

Função exponencial $f(x) = a^x$ : A diferença $f(x_{n+1}) - f(x_n) = a^{x_{n+1}} - a^{x_n} = a^{x_n}(a^r - 1)$ . Essa sequência é uma progressão geométrica (PG), não uma PA, a menos que $a^r = 1$ , o que não é o caso geral.

Função logarítmica $f(x) = \log(x)$ : A diferença $f(x_{n+1}) - f(x_n) = \log(x_{n+1}) - \log(x_n) = \log\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)$ . Como $x_n$ é uma PA, a razão $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ não é constante, e o logaritmo dessa razão também não forma uma PA.

Função trigonométrica $f(x) = \sin(x)$ : A diferença $f(x_{n+1}) - f(x_n) = \sin(x_{n+1}) - \sin(x_n)$ . Essa diferença não é uma PA para uma PA genérica de entrada.

4. Conclusão da análise:

A única função que, ao ser aplicada a uma PA, gera uma sequência de diferenças que é uma PA não degenerada é a função quadrática. As demais funções ou geram sequências constantes (afim), ou geram sequências que não são PAs (exponencial, logarítmica, trigonométrica).

Função aplicada a uma PA: Afim (f(x) = ax + b) (Diferenças constantes (razão 0), PA degenerada (proibida)); Quadrática (f(x) = ax² + bx + c) (Diferenças formam PA não degenerada, Satisfaz a condição); Exponencial (f(x) = aˣ) (Diferenças formam PG, Não é PA); Logarítmica (f(x) = log x) (Diferenças não formam PA, Não é PA); Trigonométrica (f(x) = sen x) (Diferenças não formam PA, Não é PA)

Critério	Afim (E)	Quadrática (D) ✅	Exponencial (A)	Logarítmica (B)	Trigonométrica (C)
Diferença (f(x_{n+1}) - f(x_n))	Constante $(a \cdot r)$	Função afim em (x_n) (PA não degenerada)	PG, não PA	Não forma PA	Não forma PA
Razão da sequência das diferenças	Zero (degenerada)	$(2a r^2 \neq 0)$	—	—	—
Satisfaz a condição do enunciado?	❌ Não	✅ Sim	❌ Não	❌ Não	❌ Não

Alternativa A — ❌ Incorreta

A função exponencial, quando aplicada a uma PA, gera uma sequência de diferenças que é uma progressão geométrica, não uma PA. Por exemplo, se $f(x) = 2^x$ e a PA é $(1, 2, 3, 4, \dots)$ , as diferenças são $2^2 - 2^1 = 2$ , $2^3 - 2^2 = 4$ , $2^4 - 2^3 = 8$ , que formam uma PG de razão 2, não uma PA.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A função logarítmica, quando aplicada a uma PA, não gera uma sequência de diferenças que seja uma PA. Por exemplo, se $f(x) = \log(x)$ e a PA é $(1, 2, 3, 4, \dots)$ , as diferenças são $\log(2) - \log(1) = \log(2)$ , $\log(3) - \log(2)$ , $\log(4) - \log(3)$ , que não formam uma PA.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A função trigonométrica, como o seno ou cosseno, não gera uma sequência de diferenças que seja uma PA quando aplicada a uma PA genérica. O comportamento oscilatório dessas funções impede que as diferenças formem uma progressão aritmética.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A função quadrática é a única que, ao ser aplicada a uma PA, gera uma sequência de diferenças que é uma PA não degenerada. Isso ocorre porque a diferença entre dois valores consecutivos de uma função quadrática é uma função afim da variável, e quando essa variável está em PA, a função afim também está em PA.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A função afim, quando aplicada a uma PA, gera uma sequência de diferenças constante (razão zero), o que contraria a condição de a PA ser não degenerada. Por exemplo, se $f(x) = 2x + 1$ e a PA é $(1, 2, 3, 4, \dots)$ , as diferenças são $f(2) - f(1) = 2$ , $f(3) - f(2) = 2$ , $f(4) - f(3) = 2$ , que formam uma PA constante de razão 0.

Gabarito: letra D