Questão de Matemática — Números Complexos — VUNESP 2024

Números Complexos: Triângulo Equilátero Inscrito na Circunferência

Gabarito: letra E. A soma dos afixos dos outros dois vértices é -2i. Isso ocorre porque, em um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência com centro na origem, o centro é o baricentro, e a soma dos três afixos (que são os vetores posição dos vértices) é zero. Como um vértice é $2i$, a soma dos outros dois deve ser $-2i$ para que a soma total seja nula.

A ideia por trás

Um número complexo $z = a + bi$ pode ser representado como um ponto no plano de Argand-Gauss, onde a parte real $a$ é a coordenada no eixo horizontal (eixo real) e a parte imaginária $b$ é a coordenada no eixo vertical (eixo imaginário). Esse ponto é chamado de afixo do número complexo. O afixo também pode ser visto como a extremidade de um vetor que parte da origem (0,0) e vai até o ponto $(a, b)$.

Quando temos um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência, o centro da circunferência é também o baricentro (ponto de encontro das medianas) e o circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes) do triângulo. Uma propriedade fundamental do baricentro é que ele é o ponto médio dos três vértices, ou seja, a média aritmética das coordenadas dos vértices é igual às coordenadas do baricentro.

Se o centro da circunferência está na origem do sistema cartesiano, então o baricentro do triângulo também está na origem. Isso significa que a soma dos vetores posição dos três vértices (que são os afixos) é igual ao vetor nulo. Em termos de números complexos, se os vértices são $z_1$, $z_2$ e $z_3$, então:

Essa é a chave para resolver o problema. Não precisamos calcular os outros dois vértices individualmente; basta usar a propriedade do baricentro.

Aplicando ao problema

O enunciado nos diz que um dos vértices é o afixo $z = 2i$. Vamos chamar os outros dois vértices de $z_2$ e $z_3$. Pela propriedade do baricentro, temos:

Isolando a soma dos outros dois vértices:

Portanto, a soma dos afixos correspondentes aos outros dois vértices é exatamente $-2i$, que corresponde à alternativa E.

Por que essa abordagem é a mais eficiente?

Poderíamos tentar encontrar os outros dois vértices usando rotação de números complexos. Como o triângulo é equilátero, os vértices estão separados por ângulos de $120°$ (ou $\frac{2\pi}{3}$ radianos) no círculo. O vértice $2i$ está no eixo imaginário positivo, a uma distância de 2 unidades da origem. Os outros dois vértices estariam em $2 \cdot \text{cis}(90° + 120°) = 2 \cdot \text{cis}(210°)$ e $2 \cdot \text{cis}(90° + 240°) = 2 \cdot \text{cis}(330°)$.

Calculando:

• $2 \cdot \text{cis}(210°) = 2(\cos 210° + i\sin 210°) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\sqrt{3} - i$

• $2 \cdot \text{cis}(330°) = 2(\cos 330° + i\sin 330°) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} - i$

Somando esses dois vértices: $(-\sqrt{3} - i) + (\sqrt{3} - i) = -2i$. Confirmamos o resultado, mas o método do baricentro é muito mais rápido e elegante.

A pegadinha

A banca não quer que você calcule os outros dois vértices individualmente, o que seria trabalhoso e propenso a erros de sinal. Ela quer que você perceba a propriedade do baricentro. O candidato que tenta calcular os vértices pode errar nos sinais ou nas operações com números complexos, chegando a uma das alternativas distratoras.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$2i\sqrt{3}$ é um número imaginário puro positivo. Isso não corresponde à soma dos outros dois vértices. Se o candidato calcular os vértices como $\sqrt{3} + i$ e $\sqrt{3} - i$ (errando o sinal da parte real), a soma seria $2\sqrt{3}$, que não é uma alternativa. Mas se errar a parte imaginária, poderia chegar a um valor com $i\sqrt{3}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$2$ é um número real puro. A soma dos outros dois vértices deve ser um número imaginário puro (para cancelar o $2i$ do primeiro vértice), então não pode ser um número real. Essa alternativa confunde a parte real com a parte imaginária.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$-i\sqrt{3}$ é um imaginário puro, mas com módulo $\sqrt{3}$, não 2. A soma dos outros dois vértices deve ter módulo 2 (pois $|-2i| = 2$). Essa alternativa surge se o candidato calcular apenas um dos outros vértices (que tem módulo 2, mas parte imaginária $-1$) e errar na soma.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$-2i\sqrt{3}$ é um imaginário puro com módulo $2\sqrt{3}$. Isso não corresponde à soma correta. Pode surgir de um erro ao calcular os vértices usando a fórmula de rotação, talvez esquecendo de dividir por 2 ou errando o ângulo.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$-2i$ é exatamente o valor da soma dos outros dois vértices. Pela propriedade do baricentro, a soma de todos os três afixos é zero. Como um vértice é $2i$, a soma dos outros dois é $-2i$. Isso também pode ser verificado calculando os vértices individualmente: $(-\sqrt{3} - i) + (\sqrt{3} - i) = -2i$.

Gabarito: letra E