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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu206682
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2024
Cargo
CFO/QC ( )
Os planos de equações x + y + z – 1 = 0 e x – 2y + 3z –3 = 0 são secantes. Um vetor direção d⃗\vec{d} para a reta de intersecção desses planos é
  1. Ad⃗=5i⃗−2j⃗+3k⃗\vec{d}=5\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}
  2. Bd⃗=−5i⃗−2j⃗−3k⃗\vec{d}=-5\vec{i}-2\vec{j}-3\vec{k}
  3. Cd⃗=5i⃗−2j⃗−3k⃗\vec{d}=5\vec{i}-2\vec{j}-3 \vec{k}
  4. Dd⃗=2i⃗+5j⃗+3k⃗\vec{d}=2\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}
  5. Ed⃗=−2i⃗−5j⃗+3k⃗\vec{d}=-2\vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}
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GabaritoC — \vec{d}=5\vec{i}-2\vec{j}-3 \vec{k}

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Analítica: Interseção de Planos

Gabarito: letra C. O vetor direção da reta de interseção de dois planos secantes é dado pelo produto vetorial dos vetores normais de cada plano. Para os planos x+y+z−1=0x + y + z - 1 = 0 e x−2y+3z−3=0x - 2y + 3z - 3 = 0, os vetores normais são n1⃗=(1,1,1)\vec{n_1} = (1, 1, 1) e n2⃗=(1,−2,3)\vec{n_2} = (1, -2, 3), e o produto vetorial n1⃗×n2⃗=(5,−2,−3)\vec{n_1} \times \vec{n_2} = (5, -2, -3), que corresponde exatamente à alternativa C.

Quando dois planos são secantes, eles se intersectam ao longo de uma reta. Essa reta pertence simultaneamente aos dois planos, portanto, qualquer vetor que a direcione deve ser perpendicular aos vetores normais de ambos os planos. O produto vetorial entre os vetores normais é a ferramenta que encontra um vetor com essa propriedade: ele é perpendicular a ambos os vetores originais, logo, é paralelo à reta de interseção.

Vamos calcular o produto vetorial passo a passo. Sejam n1⃗=(1,1,1)\vec{n_1} = (1, 1, 1) e n2⃗=(1,−2,3)\vec{n_2} = (1, -2, 3). O produto vetorial é dado pelo determinante:

n1⃗×n2⃗=∣i⃗j⃗k⃗1111−23∣\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}

Expandindo o determinante pela primeira linha:

n1⃗×n2⃗=i⃗∣11−23∣−j⃗∣1113∣+k⃗∣111−2∣\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}

Calculando cada determinante 2x2:

  • ∣11−23∣=(1)(3)−(1)(−2)=3+2=5\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (1)(-2) = 3 + 2 = 5

  • ∣1113∣=(1)(3)−(1)(1)=3−1=2\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (1)(1) = 3 - 1 = 2

  • ∣111−2∣=(1)(−2)−(1)(1)=−2−1=−3\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (1)(1) = -2 - 1 = -3

Substituindo:

n1⃗×n2⃗=5i⃗−2j⃗−3k⃗\vec{n_1} \times \vec{n_2} = 5\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k}

Portanto, o vetor direção é d⃗=5i⃗−2j⃗−3k⃗\vec{d} = 5\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k}, que é a alternativa C.

É importante notar que qualquer múltiplo escalar desse vetor também é um vetor direção da reta. Por exemplo, d⃗=−5i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{d} = -5\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k} também seria válido. A banca explora essa propriedade nas alternativas, oferecendo vetores com sinais trocados ou combinações incorretas dos componentes.

A pegadinha central desta questão é a inversão de sinais: o candidato pode calcular o produto vetorial corretamente, mas errar um sinal na expansão do determinante, ou pode confundir a ordem dos vetores no produto vetorial, o que inverte o sinal do resultado. Além disso, é comum esquecer que o vetor direção é perpendicular aos normais, não paralelo a eles, o que levaria a escolher um dos vetores normais como resposta.

Guarde o método: para encontrar a direção da reta de interseção de dois planos, calcule o produto vetorial dos vetores normais. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Vetores corretosVetores incorretos140LEVELsoulevel.com.br
Vetores direção da reta — só Vetores corretos: 1; só Vetores incorretos: 4; Vetores corretos∩Vetores incorretos: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O vetor d⃗=5i⃗−2j⃗+3k⃗\vec{d} = 5\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k} tem o primeiro e o segundo componentes corretos, mas o terceiro componente é +3+3 em vez de −3-3. Isso indica um erro de sinal no cálculo do determinante, provavelmente na expansão do termo k⃗\vec{k}. O componente zz do produto vetorial é −3-3, não +3+3.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O vetor d⃗=−5i⃗−2j⃗−3k⃗\vec{d} = -5\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k} tem os componentes yy e zz corretos, mas o componente xx é −5-5 em vez de +5+5. Isso ocorre quando se inverte a ordem dos vetores no produto vetorial (n2⃗×n1⃗\vec{n_2} \times \vec{n_1}), o que resulta em um vetor com todos os sinais trocados. Embora seja um múltiplo escalar do vetor correto (multiplicado por −1-1), a alternativa apresenta apenas o sinal do componente xx invertido, o que não corresponde a nenhum múltiplo escalar do vetor correto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O vetor d⃗=5i⃗−2j⃗−3k⃗\vec{d} = 5\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k} é exatamente o resultado do produto vetorial n1⃗×n2⃗\vec{n_1} \times \vec{n_2}, onde n1⃗=(1,1,1)\vec{n_1} = (1, 1, 1) e n2⃗=(1,−2,3)\vec{n_2} = (1, -2, 3). Este vetor é perpendicular a ambos os vetores normais, portanto, é paralelo à reta de interseção dos planos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O vetor d⃗=2i⃗+5j⃗+3k⃗\vec{d} = 2\vec{i} + 5\vec{j} + 3\vec{k} não corresponde ao produto vetorial calculado. Os componentes estão completamente diferentes: o componente xx é 22 em vez de 55, o componente yy é 55 em vez de −2-2, e o componente zz é 33 em vez de −3-3. Isso sugere uma confusão entre os componentes dos vetores normais e o resultado do produto vetorial.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O vetor d⃗=−2i⃗−5j⃗+3k⃗\vec{d} = -2\vec{i} - 5\vec{j} + 3\vec{k} também não corresponde ao produto vetorial. Os componentes são (−2,−5,3)(-2, -5, 3), que não são múltiplos escalares de (5,−2,−3)(5, -2, -3). Isso indica um erro na expansão do determinante, possivelmente trocando os sinais ou os valores dos componentes.

Gabarito: letra C

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