GabaritoB — (4, –10, 10).
Gabarito: letra B — o valor é (4, –10, 10). A chave é perceber que o vetor (4, 2, 0) pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados, e a linearidade do operador permite aplicar F a cada parcela separadamente.
Um operador linear é uma função que respeita duas operações: a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Isso significa que, se você conhece o efeito de F sobre alguns vetores, pode calcular o efeito sobre qualquer combinação linear deles. A questão fornece três imagens: F(0, –3, 1) = (0, 3, –1), F(–1, 1, 1) = (–1, 1, 1) e F(0, 0, 1) = (0, 0, 2). O objetivo é encontrar F(4, 2, 0).
O primeiro passo é expressar o vetor alvo como combinação linear dos vetores de entrada. Precisamos de escalares a, b e c tais que a(0, –3, 1) + b(–1, 1, 1) + c(0, 0, 1) = (4, 2, 0). Isso gera o sistema:
Para a primeira coordenada: –b = 4 → b = –4.
Para a segunda coordenada: –3a + b = 2 → –3a – 4 = 2 → –3a = 6 → a = –2.
Para a terceira coordenada: a + b + c = 0 → –2 – 4 + c = 0 → c = 6.
Assim, (4, 2, 0) = –2(0, –3, 1) – 4(–1, 1, 1) + 6(0, 0, 1).
Agora aplicamos a linearidade: F(4, 2, 0) = –2·F(0, –3, 1) – 4·F(–1, 1, 1) + 6·F(0, 0, 1). Substituindo as imagens dadas:
–2·(0, 3, –1) = (0, –6, 2)
–4·(–1, 1, 1) = (4, –4, –4)
6·(0, 0, 2) = (0, 0, 12)
Somando: (0 + 4 + 0, –6 – 4 + 0, 2 – 4 + 12) = (4, –10, 10).
A pegadinha está em não perceber que o vetor alvo é combinação linear dos vetores de entrada. Muitos candidatos tentam montar uma matriz 3×3 e inverter, o que é desnecessário e mais sujeito a erro. A dica é: sempre verifique se o vetor pedido pode ser escrito como combinação linear dos vetores cujas imagens são conhecidas — isso simplifica drasticamente o problema.
O valor (4, –10, –10) tem a primeira e segunda coordenadas corretas, mas a terceira com sinal trocado. Isso ocorre se o candidato errar o sinal na parcela –4·(–1, 1, 1), tratando-a como (4, –4, 4) em vez de (4, –4, –4), ou errar a soma da terceira coordenada (2 – 4 + 12 = 10, não –10).
A combinação linear correta é (4, 2, 0) = –2(0, –3, 1) – 4(–1, 1, 1) + 6(0, 0, 1). Aplicando F e usando a linearidade, obtemos F(4, 2, 0) = –2(0, 3, –1) – 4(–1, 1, 1) + 6(0, 0, 2) = (0, –6, 2) + (4, –4, –4) + (0, 0, 12) = (4, –10, 10).
(4, 5, –5) não corresponde a nenhuma combinação linear correta. Provavelmente o candidato errou os coeficientes a, b e c, ou aplicou F de forma incorreta. Por exemplo, se trocar os sinais de a e b, a segunda coordenada ficaria positiva (6 + 4 = 10, não –10).
(4, –5, 5) tem a segunda coordenada com valor absoluto errado (–5 em vez de –10) e a terceira com sinal trocado. Isso sugere erro na soma das parcelas, como esquecer de multiplicar por –2 ou –4 corretamente.
(4, 10, –10) tem a segunda coordenada com sinal trocado (10 em vez de –10) e a terceira com sinal trocado. Isso ocorre se o candidato errar o sinal de b na combinação linear, usando b = 4 em vez de b = –4, ou errar a aplicação de F sobre o segundo vetor.
Gabarito: letra B
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