Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — VUNESP 2024

Limite de sequência com seno

Gabarito: letra E — a sequência converge para $\pi$. A chave é o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$: reescrevendo $a_n = \frac{n^2}{n+1} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ como $\frac{n^2}{n+1} \cdot \frac{\pi}{n} \cdot \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}$, o fator $\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}$ tende a 1 e o fator $\frac{n^2}{n+1} \cdot \frac{\pi}{n} = \frac{n\pi}{n+1}$ tende a $\pi$.

O que está em jogo é o comportamento de uma sequência quando $n$ cresce indefinidamente. Uma sequência é convergente quando seus termos se aproximam cada vez mais de um valor fixo (o limite); caso contrário, é divergente. Aqui, a sequência mistura um termo racional $\frac{n^2}{n+1}$ com um seno cujo argumento $\frac{\pi}{n}$ encolhe até zero — e é exatamente essa combinação que exige o limite fundamental.

O limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ é a ferramenta central. Ele vale porque, para ângulos muito pequenos (em radianos), o seno é aproximadamente igual ao próprio ângulo. Para usá-lo, precisamos que o argumento do seno apareça também no denominador. Vejamos a manipulação:

Quando $n \to \infty$, o argumento $\frac{\pi}{n} \to 0$, então $\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} \to 1$. Já o fator $\frac{n\pi}{n+1}$ é uma fração em que numerador e denominador têm o mesmo grau — dividindo tudo por $n$, obtemos $\frac{\pi}{1 + 1/n} \to \pi$. Portanto, o limite é $\pi \cdot 1 = \pi$.

A pegadinha clássica é tentar aplicar o limite fundamental sem o ajuste do argumento: se o aluno simplesmente substituísse $\sin(\pi/n) \approx \pi/n$ sem reorganizar os fatores, poderia chegar a um resultado errado como 1 ou 2. Outra armadilha é esquecer que $\frac{n^2}{n+1}$ cresce como $n$, e que esse crescimento é compensado pelo decréscimo do seno — o produto final se estabiliza em $\pi$.

Guarde o padrão: sempre que aparecer $\sin(\text{algo pequeno})$ multiplicado por algo que cresce, procure reescrever na forma $\frac{\sin(x)}{x}$ para usar o limite fundamental. É esse critério que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é divergente. Isso estaria correto se o limite não existisse ou fosse infinito, mas acabamos de mostrar que o limite é $\pi$, um número real finito. A sequência é convergente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência converge para 1. Esse valor surgiria se o aluno aplicasse o limite fundamental de forma incompleta, ignorando o fator $\frac{n^2}{n+1} \cdot \frac{\pi}{n} = \frac{n\pi}{n+1}$, que tende a $\pi$, não a 1. O limite correto é $\pi$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência converge para 2. Não há base para esse valor: ele não corresponde a nenhum dos fatores do limite. O fator racional tende a $\pi$ e o fator trigonométrico tende a 1, então o produto tende a $\pi$, não a 2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência converge para 0. Isso ocorreria se o seno dominasse o crescimento de $\frac{n^2}{n+1}$, mas o seno de $\frac{\pi}{n}$ é aproximadamente $\frac{\pi}{n}$, que decai apenas linearmente, enquanto o fator racional cresce linearmente — o produto se estabiliza em $\pi$, não em 0.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A sequência converge para $\pi$. A demonstração usa o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$: reescrevendo $a_n = \frac{n\pi}{n+1} \cdot \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}$, o primeiro fator tende a $\pi$ e o segundo tende a 1, logo o limite é $\pi$.

Gabarito: letra E