GabaritoA — 2.
Gabarito: letra A — a conta chega a 2 unidades de área — alternativa A.
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano para os quais a expressão que define a função faz sentido. Quando a função tem uma raiz quadrada, o radicando (o que está dentro da raiz) não pode ser negativo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo. Então, para achar o domínio, precisamos impor que o radicando seja maior ou igual a zero.
A condição de existência da raiz é 1 - |x| - |y| ≥ 0, que é o mesmo que |x| + |y| ≤ 1. Essa inequação define uma região no plano. O módulo de um número é a distância dele até zero, então |x| é x se x for positivo e -x se x for negativo. Por isso, a expressão |x| + |y| muda de forma dependendo do quadrante em que o ponto está. A região |x| + |y| ≤ 1 é um losango (um quadrado rotacionado) com vértices em (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1). A área de um losango é metade do produto das diagonais.
Esta questão pede a área dessa região. Para isso, precisamos identificar a forma geométrica da região e aplicar a fórmula da área correspondente.
função: z = f(x,y) = sqrt(1 - |x| - |y|)
domínio D: conjunto de pontos (x,y) do plano onde a função está definida
O que queremos: a área do domínio D
A função tem uma raiz quadrada, e raiz quadrada de número negativo não existe nos reais. Então, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Essa é a primeira e mais importante condição para achar o domínio.
Por que esta fórmula: A condição de existência da raiz é que o radicando seja não negativo: 1 - |x| - |y| ≥ 0. Isso é o mesmo que |x| + |y| ≤ 1.
De onde vem cada valor: = enunciado: radicando da função · = enunciado: módulo de x · = enunciado: módulo de y
Esquecer de considerar o caso em que o radicando é zero, mas aqui o sinal de ≥ inclui a borda, então não há erro.
A inequação |x| + |y| ≤ 1 define uma região no plano. Para visualizar, precisamos analisar cada quadrante, porque o módulo muda de sinal. Em cada quadrante, a inequação vira uma reta simples.
Por que esta fórmula: Em cada quadrante, os módulos podem ser substituídos por x ou -x, y ou -y. Por exemplo, no primeiro quadrante (x≥0, y≥0), |x|=x e |y|=y, então a inequação vira x+y ≤ 1. Nos outros quadrantes, as retas são diferentes.
De onde vem cada valor: = definição: variável independente · = definição: variável independente
Achar que a região é um quadrado alinhado aos eixos, mas é um losango rotacionado.
A região é um losango, e a área de um losango é metade do produto das diagonais. As diagonais são os segmentos que ligam os vértices opostos: de (1,0) a (-1,0) e de (0,1) a (0,-1).
Por que esta fórmula: A fórmula da área do losango é A = (D1 × D2) / 2, onde D1 e D2 são os comprimentos das diagonais. Aqui, cada diagonal mede 2, pois vai de -1 a 1.
De onde vem cada valor: = passo 2: comprimento da diagonal horizontal = 2 · = passo 2: comprimento da diagonal vertical = 2
Usar a fórmula da área do quadrado (lado²) e achar 1 ou 4, mas o losango não é um quadrado alinhado aos eixos.
Resposta: 2 unidades de área — alternativa A
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