Questão de Matemática — Equações diferenciais ordinárias — VUNESP 2024

Equações Diferenciais Ordinárias: EDO Exata

Gabarito: letra B. A EDO dada é uma equação diferencial exata, e a solução geral é obtida integrando-se a forma diferencial, resultando em $-x^4 - 2x^2y + y - y^2 = K$. A alternativa B é a única que apresenta exatamente essa expressão.

O que é uma EDO Exata?

Uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem pode ser escrita na forma $M(x, y) + N(x, y) \frac{dy}{dx} = 0$, ou, de forma diferencial, $M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$. Ela é chamada de exata quando existe uma função $F(x, y)$ tal que sua diferencial total é exatamente a expressão dada, ou seja, $dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy = M\,dx + N\,dy$. Nesse caso, a solução geral da EDO é $F(x, y) = K$, onde $K$ é uma constante arbitrária.

O teste para verificar se uma EDO é exata é simples: ela é exata se, e somente se, $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$. Essa condição garante que a forma diferencial é 'bem comportada' e que a função $F$ existe.

Resolvendo a EDO da Questão

Vamos reescrever a EDO dada na forma diferencial:

Aqui, identificamos $M(x, y) = 4x^3 + 4xy$ e $N(x, y) = 2x^2 + 2y - 1$. Vamos aplicar o teste da exatidão:

• $\frac{\partial M}{\partial y} = 4x$

• $\frac{\partial N}{\partial x} = 4x$

Como as derivadas parciais são iguais, a EDO é exata. Agora, precisamos encontrar a função $F(x, y)$ tal que $\frac{\partial F}{\partial x} = M$ e $\frac{\partial F}{\partial y} = N$.

Passo 1: Integrar $M$ em relação a $x$, tratando $y$ como constante:

A função $g(y)$ é uma 'constante' de integração que pode depender de $y$.

Passo 2: Derivar $F$ em relação a $y$ e igualar a $N$:

Igualando a $N = 2x^2 + 2y - 1$, temos:

Passo 3: Integrar $g'(y)$ em relação a $y$:

Passo 4: Montar a solução geral $F(x, y) = K$:

Para que a solução fique no formato das alternativas, multiplicamos toda a equação por $-1$:

Como $-K$ também é uma constante arbitrária, podemos simplesmente chamá-la de $K$. Assim, a solução geral é:

Análise das Alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A apresenta a expressão $-x^4 - 2x^2y - y - y^2 = K$. O erro está no sinal do termo $y$: na solução correta, o termo é $+y$, mas aqui aparece $-y$. Isso indica uma inversão de sinal na integração de $g'(y)$, provavelmente um erro ao integrar $-1$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa B apresenta exatamente a expressão que encontramos: $-x^4 - 2x^2y + y - y^2 = K$. Ela é a única que corresponde à solução geral da EDO exata, obtida pela integração correta da forma diferencial.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta $x^4 + 2x^2y - y - y^2 = K$. O erro está nos sinais dos termos $x^4$ e $2x^2y$: eles estão positivos, mas na solução correta são negativos. Isso ocorre se o aluno não multiplicar a equação por $-1$ para ajustar o sinal da constante, ou se errar o sinal na integração inicial.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta $x^4 - 2x^2y + y - y^2 = K$. O erro está no sinal do termo $2x^2y$: ele está negativo, mas na solução correta é negativo também, porém o termo $x^4$ está positivo, o que está incorreto. A combinação de sinais não corresponde à solução obtida.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta $x^4 - 2x^2y + y + y^2 = K$. O erro está no sinal do termo $y^2$: ele está positivo, mas na solução correta é negativo. Além disso, o termo $x^4$ está positivo, o que também está incorreto.

Conclusão

A solução geral da EDO exata é $-x^4 - 2x^2y + y - y^2 = K$, que corresponde à letra B. A chave para resolver a questão é identificar a EDO como exata, aplicar o teste $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ e, em seguida, integrar corretamente para encontrar a função $F(x, y)$.

Gabarito: letra B