Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206687

Geometria Analítica: plano tangente a uma superfície

Gabarito: letra D. O ponto de tangência é $(3, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2})$ , pois o plano tangente ao gráfico de $f(x,y)=xy$ no ponto $(x_0,y_0)$ tem equação $z = y_0 x + x_0 y - x_0 y_0$ , e a condição de conter os pontos A e B leva ao sistema que resolve $x_0=3$ e $y_0=\tfrac{1}{2}$ .

O problema envolve o conceito de plano tangente a uma superfície em três dimensões. Para uma função $f(x,y)$ diferenciável, o gráfico é uma superfície, e o plano tangente no ponto $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$ é dado pela fórmula:

z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

onde $f_x$ e $f_y$ são as derivadas parciais. Para $f(x,y) = xy$ , temos $f_x = y$ e $f_y = x$ . Assim, no ponto $(x_0, y_0)$ , o plano tangente é:

z = x_0 y_0 + y_0(x-x_0) + x_0(y-y_0) = y_0 x + x_0 y - x_0 y_0

O enunciado afirma que esse plano contém os pontos $A(1,1,2)$ e $B(-1,1,1)$ . Substituindo as coordenadas de A na equação do plano:

2 = y_0 \cdot 1 + x_0 \cdot 1 - x_0 y_0 \Rightarrow 2 = x_0 + y_0 - x_0 y_0

Substituindo as coordenadas de B:

1 = y_0 \cdot (-1) + x_0 \cdot 1 - x_0 y_0 \Rightarrow 1 = x_0 - y_0 - x_0 y_0

Temos um sistema de duas equações:

\begin{cases} x_0 + y_0 - x_0 y_0 = 2 \\ x_0 - y_0 - x_0 y_0 = 1 \end{cases}

Subtraindo a segunda da primeira, obtemos $2y_0 = 1$ , logo $y_0 = \tfrac{1}{2}$ . Substituindo na primeira equação:

x_0 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{x_0}{2} = 2 \Rightarrow \tfrac{x_0}{2} = \tfrac{3}{2} \Rightarrow x_0 = 3

Portanto, o ponto de tangência é $(3, \tfrac{1}{2}, f(3,\tfrac{1}{2})) = (3, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2})$ , que corresponde à alternativa D.

A pegadinha clássica dessa questão é o candidato confundir o ponto de tangência com o ponto de interseção do plano com os eixos, ou tentar resolver por eliminação sem montar o sistema corretamente. A chave é lembrar que o plano tangente é definido pelas derivadas parciais no ponto de tangência, e que esse ponto pertence tanto ao plano quanto à superfície.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O ponto $(5, \tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{2})$ não satisfaz a condição de tangência. Se $x_0=5$ e $y_0=\tfrac{1}{2}$ , o plano tangente seria $z = \tfrac{1}{2}x + 5y - \tfrac{5}{2}$ . Verificando se contém A(1,1,2): $\tfrac{1}{2} + 5 - \tfrac{5}{2} = 3 \neq 2$ . Portanto, não é o ponto procurado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O ponto $(\tfrac{1}{2}, 3, \tfrac{3}{2})$ inverte os valores de $x_0$ e $y_0$ . Se $x_0=\tfrac{1}{2}$ e $y_0=3$ , o plano tangente seria $z = 3x + \tfrac{1}{2}y - \tfrac{3}{2}$ . Verificando A(1,1,2): $3 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = 2$ , mas verificando B(-1,1,1): $-3 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = -4 \neq 1$ . Não contém B.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O ponto $(\tfrac{1}{2}, 5, \tfrac{3}{2})$ também inverte e altera os valores. Se $x_0=\tfrac{1}{2}$ e $y_0=5$ , o plano tangente seria $z = 5x + \tfrac{1}{2}y - \tfrac{5}{2}$ . Verificando A(1,1,2): $5 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{5}{2} = 4 \neq 2$ . Não contém A.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o sistema formado pelas condições de A e B pertencerem ao plano tangente resulta em $x_0=3$ e $y_0=\tfrac{1}{2}$ . O ponto de tangência é $(3, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2})$ , pois $f(3,\tfrac{1}{2}) = 3 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O ponto $(7, \tfrac{1}{2}, \tfrac{7}{2})$ não satisfaz as condições. Se $x_0=7$ e $y_0=\tfrac{1}{2}$ , o plano tangente seria $z = \tfrac{1}{2}x + 7y - \tfrac{7}{2}$ . Verificando A(1,1,2): $\tfrac{1}{2} + 7 - \tfrac{7}{2} = 4 \neq 2$ . Não contém A.

Gabarito: letra D