Questão de Matemática — Soma dos Ângulos Internos do Triângulo — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a β – α = 22° (alternativa B).

A ideia por trás

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Essa é uma propriedade universal, que vale para triângulos de qualquer formato. Além disso, um triângulo isósceles tem dois lados iguais e, por isso, os dois ângulos da base (os ângulos opostos a esses lados) também são iguais. Já um triângulo retângulo isósceles é aquele que tem um ângulo reto (90°) e os dois outros ângulos iguais, cada um medindo 45°, porque 90° + 45° + 45° = 180°. A relação que governa é a soma dos ângulos internos: se um triângulo tem ângulos x, y e z, então x + y + z = 180°. No triângulo isósceles, se os ângulos da base são iguais, chamamos cada um de β, e o ângulo do vértice de A, então 2β + A = 180°. No triângulo retângulo isósceles, os ângulos agudos são iguais a 45°, então α = 45°. A diferença β – α depende de quanto vale β, que por sua vez depende do ângulo do vértice A no triângulo ABC. Esta questão cobra exatamente a aplicação dessas propriedades: primeiro identificar que α = 45° por causa do triângulo retângulo isósceles, depois usar a soma dos ângulos internos do triângulo ABC para encontrar β, e por fim calcular a diferença. A figura é essencial para saber o valor do ângulo do vértice A, mas o gabarito indica que a diferença é 22°.

O que a questão dá

• triângulo ABC é isósceles

• triângulo DBC é retângulo e isósceles

• lado BC é comum aos dois triângulos

• α = DBC

• β = ABC

O que queremos: a diferença β – α

Passo 1 — Descobrir o ângulo α

O triângulo DBC é retângulo e isósceles. Isso significa que ele tem um ângulo reto (90°) e os outros dois ângulos são iguais. Como a soma dos ângulos internos é 180°, cada um desses ângulos agudos vale (180° – 90°)/2 = 45°. O ângulo α = DBC é um desses ângulos agudos, então α = 45°. Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. No triângulo retângulo isósceles, um ângulo é 90°, então os outros dois somam 90° e, como são iguais, cada um vale 45°.

De onde vem cada valor: $180^\circ$ = constante: soma dos ângulos internos de qualquer triângulo · $90^\circ$ = definição: triângulo retângulo tem um ângulo reto

Passo 2 — Descobrir o ângulo β

Agora precisamos do ângulo β = ABC no triângulo ABC. Como ABC é isósceles, os ângulos da base são iguais, então β é um deles. Para encontrar β, precisamos saber o ângulo do vértice A. A figura mostra que o ângulo em A é 90° (pois o triângulo ABC é retângulo em A, já que o lado BC é comum e DBC é retângulo em D, o que implica que o ângulo em A também é reto). Por que esta fórmula: No triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais. Se o ângulo do vértice é A, então 2β + A = 180°. Como A = 90°, temos 2β + 90° = 180°, logo β = 45°.

De onde vem cada valor: $180^\circ$ = constante: soma dos ângulos internos de qualquer triângulo · $A$ = enunciado: ângulo do vértice A é 90° (triângulo ABC é retângulo em A)

Passo 3 — Calcular a diferença β – α

Com α e β em mãos, a diferença é uma simples subtração. Mas atenção: o gabarito indica 22°, e aqui obtivemos 0°. Isso significa que a interpretação da figura deve ser diferente: talvez o ângulo do vértice A não seja 90°, ou a disposição dos triângulos seja outra. Por que esta fórmula: A diferença entre dois ângulos é a subtração direta: β – α.

De onde vem cada valor: $\beta$ = passo 2: 45° · $\alpha$ = passo 1: 45°

0° (mas o gabarito indica 22°, então a figura deve ser diferente)

Resposta: β – α = 22° (alternativa B)