Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 72 agentes — alternativa B.

A ideia por trás

Uma fração como 5/8 divide um total em 8 partes iguais e toma 5 delas. Quando o problema diz que 5/8 dos agentes foram para a periferia, o total foi repartido em 8 grupos iguais, e 5 desses grupos foram para a periferia. Os 'demais' são os 3 grupos que sobraram, ou seja, 3/8 do total.

A diferença entre duas frações do mesmo total é a diferença entre os números de partes: 5/8 − 3/8 = 2/8 = 1/4. Isso significa que a diferença entre as quantidades de agentes é exatamente 1/4 do total. Se essa diferença vale 18, então 1/4 do total é 18, e o total é 18 × 4 = 72.

Esta questão cobra a interpretação de que a diferença dada (18) corresponde à diferença entre as frações (1/4 do total), e não a uma das partes. A partir daí, basta multiplicar para achar o total.

O que a questão dá

• fração para a periferia = 5/8 do total

• fração para os demais bairros = 3/8 do total

• diferença entre os números de agentes = 18

O que queremos: o número total de agentes sanitários da cidade

Passo 1 — Calcular a fração dos demais bairros

O enunciado só dá a fração da periferia. Para comparar as duas partes, precisamos saber a fração que representa os demais bairros. Como o total é 1 (ou 8/8), a fração restante é o que falta para completar 1.

Por que esta fórmula: A soma das frações de todas as partes é o total, que vale 1. Então a fração dos demais é 1 − 5/8.

De onde vem cada valor: $1$ = definição: o total, representado como fração 8/8 · $\frac{5}{8}$ = enunciado: fração da periferia

Passo 2 — Achar a diferença entre as frações

O enunciado fala da diferença entre os números de agentes. Como as duas quantidades são frações do mesmo total, a diferença entre elas é a diferença entre as frações multiplicada pelo total. Precisamos dessa diferença de frações para relacionar com o 18.

Por que esta fórmula: Subtraímos as frações porque queremos a diferença entre as partes. Como os denominadores são iguais, subtraímos os numeradores.

De onde vem cada valor: $\frac{5}{8}$ = enunciado: fração da periferia · $\frac{3}{8}$ = passo 1

Passo 3 — Relacionar a diferença de frações com 18

Sabemos que a diferença entre as frações é 1/4 do total. O enunciado diz que a diferença entre os números de agentes é 18. Como a diferença entre as quantidades é a fração da diferença vezes o total, temos que 1/4 do total é 18.

Por que esta fórmula: Se a diferença entre as partes é 1/4 do total, e essa diferença vale 18, então 1/4 do total é igual a 18. Isso é uma equação simples.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{4}$ = passo 2 · $18$ = enunciado: diferença entre os números de agentes

Passo 4 — Isolar o total T

A equação do passo anterior tem o total T multiplicado por 1/4. Para descobrir T, precisamos desfazer essa multiplicação, dividindo os dois lados por 1/4, o que equivale a multiplicar por 4.

Por que esta fórmula: Multiplicar os dois lados por 4 é a operação inversa de multiplicar por 1/4. Isso isola T.

De onde vem cada valor: $18$ = passo 3 · $4$ = definição: inverso de 1/4

Resposta: 72 agentes — alternativa B