Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Frações e comparação de grandezas

Gabarito: letra D — a fração que Teresa gasta a mais do que Isabela é $\frac{3}{10}$. Isso porque, se Isabela gasta $I$, Pedro gasta $\frac{3}{5}I$ e Teresa gasta $\frac{13}{6} \cdot \frac{3}{5}I = \frac{13}{10}I$; a diferença entre Teresa e Isabela é $\frac{13}{10}I - I = \frac{3}{10}I$, ou seja, $\frac{3}{10}$ do gasto de Isabela.

O problema trabalha com frações de frações — uma operação que aparece muito em questões de concursos. Quando dizemos que Pedro gasta $\frac{3}{5}$ do que Isabela gasta, estamos multiplicando o gasto de Isabela por $\frac{3}{5}$. Da mesma forma, Teresa gasta $\frac{13}{6}$ do que Pedro gasta, então multiplicamos o gasto de Pedro por $\frac{13}{6}$. Para relacionar Teresa diretamente com Isabela, fazemos a multiplicação de frações: $\frac{13}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{13 \times 3}{6 \times 5} = \frac{39}{30} = \frac{13}{10}$. Isso significa que Teresa gasta $\frac{13}{10}$ do que Isabela gasta, ou seja, $1,3$ vezes o gasto de Isabela.

A pergunta, porém, não é quanto Teresa gasta em relação a Isabela, mas quanto ela gasta a mais. Se Teresa gasta $\frac{13}{10}$ e Isabela gasta $1$ (que é $\frac{10}{10}$), a diferença é $\frac{13}{10} - \frac{10}{10} = \frac{3}{10}$. Esse é o ponto central: a fração "a mais" é a diferença entre as duas frações, não a fração que representa o gasto de Teresa. É comum o candidato marcar $\frac{13}{10}$ (que nem está nas alternativas) ou confundir a diferença com o valor total.

Vamos verificar com um exemplo numérico para fixar. Suponha que Isabela gaste R$ 100,00. Pedro gasta $\frac{3}{5}$ disso, ou seja, R$ 60,00. Teresa gasta $\frac{13}{6}$ do que Pedro gasta, ou seja, $\frac{13}{6} \times 60 = 130$ reais. Teresa gasta R$ 130,00 e Isabela R$ 100,00; a diferença é R$ 30,00, que corresponde a $\frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ do gasto de Isabela. O cálculo confirma o resultado.

A pegadinha da banca está em inverter a ordem das frações ou em não subtrair a base. Se o candidato calcular $\frac{13}{6} \times \frac{3}{5}$ e parar por aí, encontrará $\frac{13}{10}$, que não está nas opções — mas se ele fizer $\frac{13}{10} - 1$, chega ao gabarito. Outra armadilha é trocar os papéis: se Pedro gastasse $\frac{13}{6}$ do que Teresa gasta, o resultado seria diferente. A chave é sempre definir a variável de referência (no caso, o gasto de Isabela) e expressar tudo em função dela.

Guarde o método: quando o problema diz "A gasta $\frac{x}{y}$ do que B gasta" e "C gasta $\frac{z}{w}$ do que A gasta", multiplique as frações para relacionar C com B, e depois subtraia 1 (a unidade de referência) para achar o "a mais". É exatamente esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{1}{9}$ não corresponde a nenhuma operação válida com os dados. Se o candidato subtrair as frações diretamente ($\frac{13}{6} - \frac{3}{5}$), obtém $\frac{65 - 18}{30} = \frac{47}{30}$, que não é $\frac{1}{9}$. Esse valor não tem relação com o problema — é um distrator numérico puro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{2}{7}$ também não surge de nenhuma conta correta. Pode ser resultado de uma simplificação equivocada ou de uma subtração errada. Não há como chegar a $\frac{2}{7}$ a partir das frações dadas, então é apenas um distrator.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{1}{4}$ é um valor próximo do correto ($\frac{3}{10} = 0,3$ e $\frac{1}{4} = 0,25$), o que pode induzir o candidato que fez uma aproximação mental. Mas o cálculo exato não produz $\frac{1}{4}$; a diferença real é $\frac{3}{10}$. A banca coloca valores próximos para testar se o candidato fez a conta com precisão.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, Teresa gasta $\frac{13}{10}$ do que Isabela gasta, e a diferença é $\frac{13}{10} - 1 = \frac{3}{10}$. A alternativa espelha exatamente o resultado da subtração entre a fração que representa o gasto de Teresa e a unidade de referência (o gasto de Isabela).

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{7}{20}$ é igual a $0,35$, que é um pouco maior que $0,3$. Pode ser resultado de um erro de cálculo na multiplicação das frações (por exemplo, $\frac{13}{6} \times \frac{3}{5}$ feito como $\frac{13 \times 3}{6 + 5}$ ou algo similar). Não corresponde a nenhuma operação correta com os dados.

Gabarito: letra D