Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — VUNESP 2024

Razão e Proporção: Problema com Pessoas

Gabarito: letra E — a nova razão é $\frac{1}{4}$. Inicialmente, a razão entre quem consultou há menos de 1 ano (C) e quem nunca consultou ou consultou há 1 ano ou mais (N) é $\frac{3}{16}$, com C + N = 475. Resolvendo, C = 75 e N = 400. Após 20 pessoas de N marcarem consulta, elas passam para o grupo C, resultando em C' = 95 e N' = 380, e a nova razão é $\frac{95}{380} = \frac{1}{4}$.

A ideia por trás

Uma razão é uma comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão. Quando o enunciado diz que a razão entre dois grupos é $\frac{3}{16}$, significa que, para cada 3 pessoas do primeiro grupo, há 16 pessoas do segundo. Isso nos permite modelar os grupos como múltiplos de uma constante: se o primeiro grupo tem $3k$ pessoas, o segundo tem $16k$ pessoas.

O total de pessoas é a soma dos dois grupos: $3k + 16k = 19k = 475$. Portanto, $k = 25$. Assim, o grupo que consultou há menos de 1 ano tem $3 \times 25 = 75$ pessoas, e o grupo que nunca consultou ou consultou há 1 ano ou mais tem $16 \times 25 = 400$ pessoas.

Agora, 20 pessoas do segundo grupo marcaram e realizaram uma consulta no mesmo dia. Isso significa que elas saem do grupo N e entram no grupo C. O total de pessoas (475) permanece o mesmo, mas a distribuição muda:

• Novo grupo C: $75 + 20 = 95$ pessoas

• Novo grupo N: $400 - 20 = 380$ pessoas

A nova razão é $\frac{95}{380}$. Simplificando, dividimos numerador e denominador por 95: $\frac{95 \div 95}{380 \div 95} = \frac{1}{4}$.

A pegadinha clássica aqui é esquecer de transferir as 20 pessoas de um grupo para o outro, mantendo o denominador como 400 e apenas somando 20 ao numerador, o que daria $\frac{95}{400} = \frac{19}{80}$, que não está nas alternativas. Outro erro comum é subtrair 20 do total, alterando o universo de 475 para 455, o que também não corresponde ao enunciado, pois o total de entrevistados permanece o mesmo.

Guarde o passo a passo: (1) montar a razão com a constante $k$, (2) encontrar $k$ pelo total, (3) transferir as pessoas entre os grupos, (4) recalcular a razão e simplificar. É exatamente essa sequência que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{1}{8}$ seria o resultado se, após a transferência, a razão fosse $\frac{95}{760}$, o que não faz sentido, pois o denominador seria maior que o total de pessoas. Esse valor não corresponde a nenhuma etapa do cálculo correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{5}{16}$ seria obtido se, após a transferência, tivéssemos C' = 125 e N' = 400, o que implicaria um total de 525 pessoas, contradizendo o enunciado. Esse valor não reflete a transferência correta das 20 pessoas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{1}{6}$ seria o resultado se a razão fosse $\frac{95}{570}$, o que novamente ultrapassa o total de 475 pessoas. Esse valor não corresponde a nenhuma combinação válida dos grupos após a transferência.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{3}{8}$ seria obtido se, após a transferência, tivéssemos C' = 150 e N' = 400, o que daria um total de 550 pessoas, impossível. Esse valor não reflete a transferência correta das 20 pessoas.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Após a transferência, C' = 95 e N' = 380, resultando em $\frac{95}{380} = \frac{1}{4}$. A simplificação correta leva a este valor, que é a única alternativa que respeita o total de 475 pessoas e a transferência de 20 pessoas entre os grupos.

Gabarito: letra E