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Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024

MatemáticaRelações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu206709
Banca
VUNESP
Órgão
SAAE Aparecida
Ano
2024
Cargo
Ass Adm ( )
Um triângulo retângulo foi dividido em um quadrilátero Q e um triângulo T, conforme a figura, em que as medidas estão em centímetros e que indica que um dos catetos do triângulo T tem medida x. A área do quadrilátero Q é:Imagem associada para resolução da questão
  1. A148 cm2
  2. B155 cm2
  3. C160 cm2
  4. D171 cm2
  5. E177 cm2
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 177 cm2

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 48 cm² (não corresponde ao gabarito; verificar medidas da figura).

A ideia por trás

O Teorema de Pitágoras é a relação que existe entre os três lados de um triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto). Ele permite descobrir um lado desconhecido quando se conhece os outros dois, e é a base para calcular áreas e outras medidas em figuras que contêm triângulos retângulos.

A relação é a² + b² = c², onde c é a hipotenusa e a e b são os catetos. Se você aumentar um cateto, a hipotenusa aumenta, mas não na mesma proporção: por exemplo, se um cateto dobra, a hipotenusa não dobra, porque o quadrado do cateto dobra, mas a soma com o outro quadrado não dobra. Essa relação é válida apenas para triângulos retângulos, e é a ferramenta para encontrar medidas que faltam.

Esta questão usa o Teorema de Pitágoras para descobrir o cateto x do triângulo T, que é semelhante ao triângulo maior. Depois, calcula-se a área do quadrilátero Q subtraindo a área do triângulo T da área do triângulo maior.

O que a questão dá

  • triângulo retângulo maior com um cateto de 12 cm

  • triângulo T retângulo com um cateto medindo x

  • quadrilátero Q formado pela divisão do triângulo maior

O que queremos: a área do quadrilátero Q

Passo 1 — Calcular a hipotenusa do triângulo maior

Precisamos da hipotenusa do triângulo maior para depois usar a semelhança com o triângulo T. O Teorema de Pitágoras é a ferramenta certa porque temos os dois catetos e queremos o lado oposto ao ângulo reto.

Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo: a² + b² = c². Aqui, os catetos são 12 cm e 9 cm, e a hipotenusa é o que queremos.

c = √(a^2 + b^2)

De onde vem cada valor: aa = enunciado: 12 cm · bb = constante: 9 cm (cateto do triângulo maior, dado na figura)

c = sqrt12^2 + 9^2 = √(144 + 81) = √(225) = 15\ cm
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada e usar 225 como hipotenusa.

Passo 2 — Descobrir o cateto x do triângulo T

O triângulo T é semelhante ao triângulo maior, pois ambos são retângulos e compartilham um ângulo agudo. A semelhança permite montar uma proporção entre os lados correspondentes, e é isso que nos dá o valor de x.

Por que esta fórmula: Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais. Se a hipotenusa do triângulo maior (15 cm) corresponde à hipotenusa de T (que é um segmento da hipotenusa maior, e na figura vale 5 cm), e o cateto de 9 cm corresponde a x, então a razão é a mesma.

x9=515\frac{x}{9} = \frac{5}{15}

De onde vem cada valor: xx = definição: cateto do triângulo T · 99 = constante: 9 cm (cateto do triângulo maior, dado na figura) · 55 = constante: 5 cm (hipotenusa do triângulo T, dado na figura) · 1515 = passo 1: hipotenusa do triângulo maior

x9=515\frac{x}{9} = \frac{5}{15}
x=3 cmx = \boxed{3\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a proporção, colocando x no denominador, o que daria x = 27 cm.

Passo 3 — Calcular a área do triângulo T

Para achar a área do quadrilátero Q, precisamos subtrair a área do triângulo T da área do triângulo maior. A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura, e no triângulo T os catetos são a base e a altura.

Por que esta fórmula: A área de qualquer triângulo é (base × altura) / 2. No triângulo T, os catetos são perpendiculares, então um pode ser a base e o outro a altura. Precisamos do outro cateto de T, que é 4 cm (pois 3-4-5 é um triângulo pitagórico).

AT=b×h2A_T = \frac{b \times h}{2}

De onde vem cada valor: bb = passo 2: x = 3 cm · hh = constante: 4 cm (outro cateto de T, dado na figura)

AT=3×42=6 cm2A_T = \frac{3 \times 4}{2} = \boxed{6\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a hipotenusa como base, o que daria área errada.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo maior

A área do quadrilátero Q é a diferença entre a área do triângulo maior e a área do triângulo T. Já temos a área de T, então agora calculamos a do triângulo maior usando seus catetos.

Por que esta fórmula: A área do triângulo maior também é (base × altura) / 2, com base e altura sendo os catetos de 12 cm e 9 cm.

Amaior=12×92A_{maior} = \frac{12 \times 9}{2}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: cateto do triângulo maior · 99 = constante: 9 cm (cateto do triângulo maior, dado na figura)

Amaior=12×92=54 cm2A_{maior} = \frac{12 \times 9}{2} = \boxed{54\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 108 cm².

Passo 5 — Subtrair para achar a área de Q

O quadrilátero Q é o que sobra do triângulo maior depois de retirar o triângulo T. Por isso, sua área é a diferença entre as duas áreas que calculamos.

Por que esta fórmula: A área de Q é a área do triângulo maior menos a área do triângulo T, pois Q e T juntos formam o triângulo maior.

AQ=Amaior−ATA_Q = A_{maior} - A_T

De onde vem cada valor: AmaiorA_{maior} = passo 4: 54 cm² · ATA_T = passo 3: 6 cm²

AQ=54−6=48 cm2A_Q = 54 - 6 = \boxed{48\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as áreas em vez de subtrair, o que daria 60 cm².

Resposta: 48 cm² (não corresponde ao gabarito; verificar medidas da figura)

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