Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024
Matemática›Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu206712
Banca
VUNESP
Órgão
SAAE Aparecida
Ano
2024
Cargo
Con Ace ( )
Considere a seguinte situação para responder à questão abaixo. Um terreno possui a forma de um triângulo retângulo, com os dois menores lados formando o ângulo de 90º. Desses dois lados, o menor mede 50 metros e o outro mede 2,4 vezes a medida desse menor lado. A figura a seguir, que está fora de escala, ilustra essa situação: O proprietário desse terreno pretende cercá-lo totalmente e, para isso, orçou o custo do metro de cerca junto a um prestador de serviço. Obteve o valor de R$ 400,00 para cada metro de cerca. Sabendo que o gasto total com a cerca desse terreno, com base nesse orçamento, seria de R$ 120.000,00, pode-se concluir que o maior dos lados desse terreno mede
A130 metros.
B140 metros.
C150 metros.
D160 metros.
E170 metros.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoA — 130 metros.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 130 metros — alternativa A.
A ideia por trás
O Teorema de Pitágoras é a relação que existe entre os três lados de um triângulo retângulo — aquele que tem um ângulo de 90°. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa (sempre o maior), e os outros dois são os catetos. O teorema diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, e é a ferramenta básica para descobrir um lado desconhecido quando se conhecem os outros dois.
A relação é h² = a² + b², onde h é a hipotenusa e a, b são os catetos. Ela tem essa forma porque, geometricamente, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é exatamente a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Se um cateto cresce, a hipotenusa cresce, mas não na mesma proporção: dobrar um cateto não dobra a hipotenusa, pois o quadrado faz o crescimento ser mais lento. Essa relação vale apenas para triângulos retângulos.
Esta questão pede a hipotenusa, mas não entrega os dois catetos diretamente: um deles é dado por uma relação com o outro, e o perímetro precisa ser extraído do custo da cerca. O caminho é primeiro descobrir o perímetro, depois o segundo cateto, e só então aplicar Pitágoras.
O que a questão dá
menor cateto = 50 m
outro cateto = 2,4 × 50 m
custo por metro de cerca = R$ 400,00
gasto total com a cerca = R$ 120.000,00
O que queremos: a medida do maior lado do terreno (a hipotenusa)
Passo 1 — Descobrir o perímetro pelo custo da cerca
O custo total da cerca é proporcional ao comprimento total da cerca, que é exatamente o perímetro do terreno. Como cada metro custa R$ 400,00 e o gasto foi R$ 120.000,00, dividir o gasto pelo preço do metro dá o número de metros de cerca, ou seja, o perímetro.
Por que esta fórmula: Perímetro é a soma de todos os lados; o custo é o preço por metro vezes o número de metros. Então, para achar o número de metros, divide-se o custo total pelo preço unitário.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 120.000,00 · = enunciado: R$ 400,00
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar 120.000 por 400 em vez de dividir — isso daria um número absurdo, pois o perímetro não pode ser maior que o custo dividido pelo preço.
Passo 2 — Calcular o segundo cateto
O enunciado diz que o outro cateto mede 2,4 vezes o menor. Como o menor mede 50 m, basta multiplicar para achar o segundo cateto, que é necessário para aplicar Pitágoras.
Por que esta fórmula: A relação '2,4 vezes' é uma multiplicação direta: o valor do segundo cateto é 2,4 × 50.
De onde vem cada valor: = enunciado: '2,4 vezes a medida desse menor lado' · = enunciado: 'o menor mede 50 metros'
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação: 2,4 × 50 = 120, não 100 nem 140. Confira a vírgula.
Passo 3 — Aplicar o Teorema de Pitágoras
Agora temos os dois catetos (50 m e 120 m) e queremos a hipotenusa, que é o maior lado. O Teorema de Pitágoras é exatamente a relação que liga os três lados de um triângulo retângulo.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Como queremos a hipotenusa, isolamos h.
h = √(a^2 + b^2)
De onde vem cada valor: = passo 1: 50 m (menor cateto) · = passo 2: 120 m (segundo cateto)
h = sqrt50^2 + 120^2 = 130\ m
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de elevar ao quadrado antes de somar: 50 + 120 = 170, e a raiz de 170 não é 130. A ordem é: elevar, somar, tirar a raiz.
