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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu206713
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
Uma empresa disponibiliza a seus 8 funcionários duas opções de horário de almoço, um que se inicia às 12h e outro às 13h, de maneira que, em cada horário, devem almoçar 4 funcionários, que podem decidir entre si a distribuição de funcionários por horário. Dois funcionários preferem almoçar às 12h, três funcionários preferem almoçar às 13h e os outros três funcionários aceitam almoçar em qualquer horário.   O número de maneiras distintas de esses funcionários se distribuírem nessas duas opções de horário de almoço, de acordo com as preferências manifestadas, é:
  1. A12.
  2. B3.
  3. C6.
  4. D2.
  5. E24.
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GabaritoB — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 3 maneiras — alternativa B.

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos agrupar ou ordenar elementos. Quando a ordem de escolha não importa — por exemplo, escolher quais pessoas vão para um grupo — usamos a combinação, que conta apenas os conjuntos possíveis, ignorando a sequência em que foram escolhidos.

A combinação de n elementos tomados k a k é dada por C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!). Ela responde à pergunta: de quantas maneiras posso escolher k elementos de um total de n, sem me importar com a ordem? Por exemplo, escolher 2 pessoas entre 3 flexíveis para um horário é C(3,2) = 3, pois as possibilidades são {A,B}, {A,C} e {B,C} — a ordem dentro do par não cria nova distribuição.

Nesta questão, as preferências fixam alguns funcionários em horários determinados, restando apenas escolher quais dos flexíveis completam o horário das 12h. Como a ordem de escolha não importa, usamos combinação.

O que a questão dá

  • 8 funcionários no total

  • 2 preferem almoçar às 12h

  • 3 preferem almoçar às 13h

  • 3 são flexíveis (aceitam qualquer horário)

  • cada horário deve ter exatamente 4 funcionários

O que queremos: o número de maneiras distintas de distribuir os funcionários nos dois horários respeitando as preferências

Passo 1 — Fixar os funcionários com preferência definida

Antes de contar as possibilidades, precisamos saber quantos lugares já estão ocupados em cada horário. Os 2 que preferem 12h vão para as 12h, e os 3 que preferem 13h vão para as 13h — isso é obrigatório, não há escolha aqui.

12h: 2 ocupados; 13h: 3 ocupados

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que as preferências são fixas e tentar distribuir todos os 8 livremente.

Passo 2 — Calcular quantos faltam em cada horário

Cada horário precisa de exatamente 4 funcionários. Como já temos 2 nas 12h, faltam 2; e como já temos 3 nas 13h, falta 1. Esses números definem quantos flexíveis serão alocados em cada horário.

Por que esta fórmula: A subtração é direta: 4 - ocupados_atual = faltantes.

faltantes12h=4−2=2faltantes_{12h} = 4 - 2 = 2

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: cada horário deve ter 4 funcionários · 22 = passo 1: ocupados nas 12h

faltantes12h=4−2faltantes_{12h} = 4 - 2

faltantes12hfaltantes_{12h} = 2 faltantes nas 12h; 1 faltante nas 13h

NÃO CAIA NESSA!

Confundir e pensar que faltam 2 nas 13h também, mas lá já há 3 fixos.

Passo 3 — Perceber que só os flexíveis podem completar as 12h

Os 3 que preferem 13h não podem ir para as 12h, pois isso contrariaria a preferência. Portanto, os 2 que faltam para as 12h só podem vir do grupo dos 3 flexíveis. Isso reduz o problema a escolher quais flexíveis vão para as 12h.

2 flexíveis vão para as 12h; o restante vai para as 13h

NÃO CAIA NESSA!

Tentar incluir os que preferem 13h nas 12h, o que violaria a restrição.

Passo 4 — Contar as combinações de flexíveis para as 12h

Agora temos que escolher 2 dos 3 flexíveis para ocupar as vagas das 12h. Como a ordem de escolha não importa (escolher A e B é o mesmo que B e A), usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação C(3,2) conta exatamente quantos subconjuntos de 2 elementos podemos formar a partir de 3 elementos, sem considerar a ordem.

C(3,2)=3!2!⋅(3−2)!C(3{,}2) = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 funcionários flexíveis · 22 = passo 2: faltam 2 para as 12h · 3!3! = constante: fatorial de 3 · 2!2! = constante: fatorial de 2 · (3−2)!(3-2)! = constante: fatorial de 1

C(3,2)=3!2!⋅1!=62=3=3 maneirasC(3{,}2) = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2} = 3 = \boxed{3\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (3 × 2 = 6) contando a ordem, mas a ordem não importa aqui.

Resposta: 3 maneiras — alternativa B

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