Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 11 empresas — alternativa E.

A ideia por trás

Uma equação de primeiro grau é uma igualdade que envolve uma incógnita (um valor desconhecido) elevada à primeira potência. Quando o problema tem duas incógnitas, precisamos de duas equações independentes para encontrá-las — isso é um sistema linear. Cada equação representa uma condição do problema: uma sobre os dias trabalhados e outra sobre o dinheiro recebido.

Em um sistema linear, cada equação relaciona as mesmas incógnitas de formas diferentes. Aqui, chamamos de x o número de visitas de 1 dia e de y o número de visitas de 2 dias. A primeira equação, x + 2y = 18, diz que cada visita de 1 dia consome 1 dia e cada visita de 2 dias consome 2 dias, totalizando 18 dias. A segunda, 450x + 800y = 7400, diz que cada visita de 1 dia rende R$ 450 e cada visita de 2 dias rende R$ 800 (porque são 2 dias × R$ 400), totalizando R$ 7.400. O total de empresas é x + y.

Esta questão cobra a montagem correta de um sistema linear a partir de um enunciado do dia a dia. O desafio é traduzir as informações em equações, prestando atenção nas unidades: dias e reais. Depois, resolvemos o sistema para achar x e y e somamos.

O que a questão dá

• visita de 1 dia rende R$ 450,00

• visita de 2 dias rende R$ 400,00 por dia, ou seja, R$ 800,00 por visita

• total de dias trabalhados em setembro = 18

• total recebido em setembro = R$ 7.400,00

O que queremos: o número total de empresas que Cássia visitou em setembro

Passo 1 — Definir as incógnitas

Antes de montar qualquer equação, precisamos nomear o que não sabemos. O problema fala de dois tipos de visita: as de 1 dia e as de 2 dias. Vamos chamar de x o número de visitas de 1 dia e de y o número de visitas de 2 dias. Assim, cada equação que montarmos vai usar essas letras.

Passo 2 — Montar a equação dos dias

A primeira condição do problema é o total de dias trabalhados: 18. Cada visita de 1 dia ocupa 1 dia, e cada visita de 2 dias ocupa 2 dias. Então, o número de dias é x (das visitas de 1 dia) mais 2y (das visitas de 2 dias). Isso precisa somar 18.

Por que esta fórmula: É a tradução direta do enunciado: 'trabalhou por 18 dias' vira uma equação que soma os dias gastos em cada tipo de visita.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: número de visitas de 1 dia · $2y$ = definição: cada visita de 2 dias ocupa 2 dias, então y visitas ocupam 2y dias · $18$ = enunciado: total de dias trabalhados

Passo 3 — Montar a equação do dinheiro

A segunda condição é o total recebido: R$ 7.400. Cada visita de 1 dia rende R$ 450, e cada visita de 2 dias rende R$ 800 (porque são 2 dias × R$ 400 por dia). Então, o dinheiro total é 450x + 800y, que deve igualar 7400.

Por que esta fórmula: É a tradução do enunciado: 'recebido o total de R$ 7.400' vira uma equação que soma os ganhos de cada tipo de visita.

De onde vem cada valor: $450x$ = definição: cada visita de 1 dia rende R$ 450, então x visitas rendem 450x · $800y$ = definição: cada visita de 2 dias rende R$ 800 (2 × 400), então y visitas rendem 800y · $7400$ = enunciado: total recebido

Passo 4 — Isolar x na primeira equação

Temos duas equações e duas incógnitas. Para resolver, um método é substituir: isolamos uma incógnita em uma equação e usamos na outra. Vamos isolar x na equação dos dias, porque ela é mais simples.

Por que esta fórmula: Isolar x significa deixá-lo sozinho de um lado. Subtraímos 2y dos dois lados para manter a igualdade.

De onde vem cada valor: $18$ = passo 2: equação x + 2y = 18 · $2y$ = passo 2: termo que passa para o outro lado

Passo 5 — Substituir x na equação do dinheiro

Agora que sabemos que x = 18 - 2y, podemos trocar x na equação do dinheiro. Isso deixa a equação só com y, que conseguimos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição é o método de resolver sistemas: usamos a expressão de uma incógnita na outra equação.

De onde vem cada valor: $450(18 - 2y)$ = passo 4: x = 18 - 2y, substituído em 450x · $800y$ = passo 3: termo original · $7400$ = passo 3: total recebido

Passo 6 — Resolver a equação para y

A equação do passo anterior só tem y. Vamos simplificar e isolar y para descobrir quantas visitas de 2 dias Cássia fez.

Por que esta fórmula: Distribuímos a multiplicação, juntamos os termos com y e isolamos y.

De onde vem cada valor: $8100$ = passo 5: 450 × 18 · $-900y$ = passo 5: 450 × (-2y) · $800y$ = passo 5: termo original · $7400$ = passo 5: total

Passo 7 — Isolar y

Agora temos 8100 - 100y = 7400. Para achar y, precisamos deixá-lo sozinho. Subtraímos 8100 dos dois lados e depois dividimos por -100.

Por que esta fórmula: Isolamento: primeiro movemos o 8100, depois dividimos pelo coeficiente de y.

De onde vem cada valor: $-100y$ = passo 6: coeficiente de y · $7400$ = passo 6: termo independente · $8100$ = passo 6: termo que passa para o outro lado

Passo 8 — Achar x e somar com y

Já sabemos que y = 7 (sete visitas de 2 dias). Para achar x, usamos a equação do passo 4: x = 18 - 2y. Depois, o total de empresas é x + y.

Por que esta fórmula: Substituímos y na expressão de x e depois somamos as duas quantidades.

De onde vem cada valor: $18$ = passo 4: equação original · $2 \times 7$ = passo 7: y = 7, e cada visita de 2 dias ocupa 2 dias

Resposta: 11 empresas — alternativa E