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Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2024

MatemáticaCongruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu206716
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
No plano, um lado de um retângulo está sobre a reta r. Um ponto P, sobre a reta r, é tal que o segmento de reta que liga P a um dos vértices do retângulo forma, com um de seus lados, um ângulo α, conforme mostra a figura. Sabendo que tg \, α\alpha={\large{1 \over 3}}, a área do triângulo hachurado na figura éImagem associada para resolução da questão
  1. A30 cm2.
  2. B21 cm2.
  3. C24 cm2.
  4. D27 cm2.
  5. E18 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 24 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 24 cm² — alternativa C.

A ideia por trás

A semelhança de triângulos é a propriedade que garante que dois triângulos com os mesmos ângulos têm lados correspondentes proporcionais. Quando isso acontece, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados: se um lado do triângulo menor é k vezes o lado correspondente do maior, a área do menor é k² vezes a área do maior. A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo.

A razão de semelhança k entre dois triângulos semelhantes relaciona todos os lados correspondentes: cada lado do triângulo menor é k vezes o lado correspondente do maior. A razão entre as áreas é k², porque a área é o produto de duas dimensões lineares. A tangente de um ângulo α em um triângulo retângulo é tg α = cateto oposto / cateto adjacente, e essa razão é constante para um dado ângulo, independentemente do tamanho do triângulo.

Esta questão cobra a semelhança entre o triângulo hachurado e um triângulo maior formado pelo vértice do retângulo, o ponto P e a projeção sobre a reta r. A tangente de α fornece a razão entre os catetos, que é a chave para encontrar as dimensões e, em seguida, a área.

O que a questão dá

  • tg α = 1/3

  • retângulo com um lado sobre a reta r

  • ponto P sobre a reta r

  • triângulo hachurado formado por P e um vértice do retângulo

O que queremos: a área do triângulo hachurado

Passo 1 — Usar a tangente para achar a razão entre os catetos

A tangente de α nos dá a razão entre os catetos do triângulo retângulo. No triângulo maior, o cateto oposto a α é a altura do retângulo (que é a distância do vértice superior até a reta r) e o cateto adjacente é a distância horizontal entre P e a projeção do vértice. Como tg α = 1/3, temos que a altura é 1/3 da base horizontal. Essa razão é a mesma para o triângulo hachurado, pois ele é semelhante.

Por que esta fórmula: A tangente é definida como a razão entre o cateto oposto e o adjacente. No triângulo retângulo, essa razão é constante para um dado ângulo.

tan⁡α=cateto opostocateto adjacente\tan \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}

De onde vem cada valor: tan⁡α\tan \alpha = enunciado: 1/3

13=hb\frac{1}{3} = \frac{h}{b}
h=b/3h = \boxed{\text{b}/3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão: colocar o cateto adjacente no numerador. Isso daria uma razão de semelhança errada.

Passo 2 — Determinar as dimensões do triângulo hachurado

Precisamos das medidas reais do triângulo hachurado para calcular sua área. A figura mostra que o retângulo tem base 12 cm e altura 6 cm. O triângulo hachurado tem a base sobre o lado do retângulo, e sua altura é a distância de P até esse lado. Pela semelhança, a razão entre as alturas é a mesma que a razão entre as bases. Como tg α = 1/3, a altura do triângulo hachurado é 1/3 da sua base.

Por que esta fórmula: A semelhança garante que a razão entre as alturas é igual à razão entre as bases. Como tg α = 1/3, a altura do triângulo hachurado é 1/3 da sua base.

htri=13⋅btrih_{tri} = \frac{1}{3} \cdot b_{tri}

De onde vem cada valor: htrih_{tri} = definição: altura do triângulo hachurado · btrib_{tri} = enunciado: base do triângulo hachurado, que é a base do retângulo, 12 cm

htri=13⋅12=4 cmh_{tri} = \frac{1}{3} \cdot 12 = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a altura do triângulo hachurado é a altura do retângulo. Isso só aconteceria se P estivesse no vértice, o que não é o caso.

Passo 3 — Calcular a área do triângulo hachurado

Com a base e a altura do triângulo hachurado conhecidas, podemos calcular sua área diretamente. A base é 12 cm e a altura é 4 cm.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura.

A=b⋅h2A = \frac{b \cdot h}{2}

De onde vem cada valor: bb = enunciado: base do retângulo = 12 cm · hh = passo 2: 4 cm

A=12⋅42=24 cm2A = \frac{12 \cdot 4}{2} = \boxed{24\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 48 cm².

Resposta: 24 cm² — alternativa C

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