Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206719

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a g(p - 2) = 22 — alternativa A.

A ideia por trás

Uma função do segundo grau tem a forma geral f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, e seu gráfico é uma parábola. Nesta questão, temos duas funções: uma do primeiro grau (f) e uma do segundo grau (g), que se encontram em um ponto específico: quando x = 2, ambas assumem o mesmo valor. Essa informação é a chave para determinar o valor da constante p.

A igualdade f(2) = g(2) significa que, ao substituir x por 2 em cada função, os resultados são iguais. Isso gera uma equação em p, que pode ser resolvida isolando p. Depois de conhecer p, podemos calcular g(p - 2) substituindo x por p - 2 na expressão de g.

Esta questão cobra exatamente esse raciocínio: usar a igualdade para achar p e depois avaliar a função no ponto pedido. O passo crítico é não confundir o valor de x (que é p - 2) com o valor de p.

O que a questão dá

f(x) = 3x - 5
g(x) = 2x² - px + p
f(2) = g(2)

O que queremos: o valor de g(p - 2)

Passo 1 — Calcular f(2)

Precisamos do valor numérico de f(2) para poder igualar a g(2). Como f é uma função do primeiro grau, basta substituir x por 2 na expressão.

Por que esta fórmula: A função f(x) = 3x - 5 é uma reta; para achar f(2), trocamos x por 2 e fazemos a conta.

f(2) = 3 \cdot 2 - 5

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: f(x) = 3x - 5 · $2$ = enunciado: f(2) · $5$ = enunciado: f(x) = 3x - 5

f(2) = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = \boxed{1}

NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das operações, fazendo 3·(2-5) = -9 em vez de 3·2 - 5 = 1

Passo 2 — Calcular g(2)

Assim como fizemos com f, precisamos do valor de g(2) para montar a igualdade. Aqui aparece a constante p, que vamos descobrir.

Por que esta fórmula: A função g(x) = 2x² - px + p é uma parábola; substituímos x por 2 e simplificamos os termos com p.

g(2) = 2 \cdot 2^{2} - p \cdot 2 + p

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: g(2) · $p$ = enunciado: constante real

g(2) = 2 \cdot 4 - 2p + p = 8 - p = \boxed{8\ - \text{p}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar p por 2, escrevendo g(2) = 8 - p + p = 8, o que anularia o p

Passo 3 — Igualar f(2) e g(2) para achar p

O enunciado garante que f(2) = g(2). Com os valores calculados, montamos uma equação do primeiro grau em p e a resolvemos.

Por que esta fórmula: Igualar as duas expressões é o que traduz a condição do problema em uma equação algébrica.

1 = 8 - p

De onde vem cada valor: $1$ = passo 1: f(2) = 1 · $8 - p$ = passo 2: g(2) = 8 - p

1 = 8 - p \Rightarrow p = 8 - 1

p = \boxed{7}

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar p, por exemplo fazendo p = 1 - 8 = -7

Passo 4 — Calcular p - 2

A questão pede g(p - 2), ou seja, precisamos saber qual número será colocado no lugar de x. Com p = 7, calculamos p - 2.

Por que esta fórmula: É uma simples subtração: p - 2 = 7 - 2 = 5.

p - 2 = 7 - 2

De onde vem cada valor: $7$ = passo 3: p = 7 · $2$ = enunciado: p - 2

p - 2 = 7 - 2 = \boxed{5}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir e usar x = p = 7 em vez de x = p - 2 = 5

Passo 5 — Substituir x por 5 em g(x)

Agora que sabemos que p - 2 = 5, basta avaliar a função g no ponto x = 5, usando o valor de p já encontrado.

Por que esta fórmula: g(x) = 2x² - px + p; com x = 5 e p = 7, substituímos e calculamos.

g(5) = 2 \cdot 5^{2} - 7 \cdot 5 + 7

De onde vem cada valor: $5$ = passo 4: p - 2 = 5 · $7$ = passo 3: p = 7

g(5) = 2 \cdot 25 - 35 + 7 = 50 - 35 + 7 = \boxed{22}

NÃO CAIA NESSA!

Usar x = 7 em vez de x = 5, ou errar a conta 50 - 35 + 7 = 22

Resposta: g(p - 2) = 22 — alternativa A

Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular f(2)

Passo 2 — Calcular g(2)

Passo 3 — Igualar f(2) e g(2) para achar p

Passo 4 — Calcular p - 2

Passo 5 — Substituir x por 5 em g(x)