Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 9 maneiras — alternativa D.

A ideia por trás

Quando os objetos são idênticos, o que importa é apenas quantos cada pessoa recebe, não quais objetos. Contar distribuições assim é contar as combinações de números inteiros que somam o total, respeitando as regras do problema. Cada pessoa é um 'pote' e os livros são 'bolinhas' iguais; a ordem entre as pessoas importa, mas a ordem dos livros dentro de cada pote não.

A condição 'Ana + Beatriz = 2 × Carmen' liga as quantidades: se Carmen recebe C livros, Ana e Beatriz juntas recebem 2C. Como o total é 10, sobra para Dirce D = 10 - 3C. Como todos recebem pelo menos 1, C só pode ser 1, 2 ou 3. Para cada C, contamos de quantas maneiras Ana e Beatriz podem dividir 2C livros entre si, lembrando que cada uma fica com pelo menos 1.

Esta questão cobra exatamente essa contagem caso a caso: fixar C, calcular D, e então contar as possibilidades para Ana e Beatriz, somando os resultados. A ordem entre Ana e Beatriz importa, então (1,3) e (3,1) são diferentes.

O que a questão dá

• total de livros = 10

• vendedoras = Ana, Beatriz, Carmen e Dirce

• cada uma recebe ao menos 1 livro

• Ana + Beatriz = 2 × Carmen

O que queremos: o número de maneiras de distribuir os livros respeitando as condições

Passo 1 — Montar as equações do problema

Antes de contar, precisamos traduzir as condições em linguagem matemática. Chamando de A, B, C e D as quantidades de livros de Ana, Beatriz, Carmen e Dirce, temos que a soma total é 10 e que Ana e Beatriz juntas têm o dobro de Carmen. Essas duas equações são a base de tudo.

Por que esta fórmula: A primeira equação é a soma total; a segunda é a condição do dobro. Substituir A+B por 2C na primeira é o passo que simplifica o problema.

De onde vem cada valor: $A$ = definição: quantidade de livros de Ana · $B$ = definição: quantidade de livros de Beatriz · $C$ = definição: quantidade de livros de Carmen · $D$ = definição: quantidade de livros de Dirce

Passo 2 — Substituir e limitar os valores de C

Com A+B = 2C, a soma total vira 2C + C + D = 10, ou seja, 3C + D = 10. Como D é pelo menos 1, C não pode ser grande demais: se C = 4, D seria -2, impossível. Então C só pode ser 1, 2 ou 3.

Por que esta fórmula: A equação 3C + D = 10 é a consequência direta da substituição. Testar os valores inteiros positivos de C é a única forma de respeitar a condição de D ≥ 1.

De onde vem cada valor: $C$ = definição: quantidade de livros de Carmen · $D$ = definição: quantidade de livros de Dirce

Passo 3 — Contar as maneiras para C = 1

Agora vamos caso a caso. Para C = 1, a equação 3C + D = 10 dá D = 7. E A + B = 2C = 2. Como Ana e Beatriz precisam receber pelo menos 1 livro, a única possibilidade é (1,1).

Por que esta fórmula: A + B = 2 com A ≥ 1 e B ≥ 1 só tem a solução (1,1).

De onde vem cada valor: $A$ = definição: quantidade de livros de Ana · $B$ = definição: quantidade de livros de Beatriz

Passo 4 — Contar as maneiras para C = 2

Para C = 2, D = 10 - 6 = 4. E A + B = 4. As possibilidades com A ≥ 1 e B ≥ 1 são (1,3), (2,2) e (3,1). Como Ana e Beatriz são pessoas distintas, (1,3) e (3,1) são diferentes.

Por que esta fórmula: A + B = 4 com ambos positivos: as soluções são os pares ordenados que somam 4, excluindo os que têm zero.

De onde vem cada valor: $A$ = definição: quantidade de livros de Ana · $B$ = definição: quantidade de livros de Beatriz

Passo 5 — Contar as maneiras para C = 3

Para C = 3, D = 10 - 9 = 1. E A + B = 6. As possibilidades com A ≥ 1 e B ≥ 1 são (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) e (5,1). São 5 maneiras.

Por que esta fórmula: A + B = 6 com ambos positivos: os pares ordenados de 1 a 5 que somam 6.

De onde vem cada valor: $A$ = definição: quantidade de livros de Ana · $B$ = definição: quantidade de livros de Beatriz

Passo 6 — Somar os resultados dos casos

Cada caso (C = 1, 2, 3) é independente e não se sobrepõe, então o total de maneiras é a soma das contagens de cada caso.

Por que esta fórmula: O princípio aditivo da contagem: se os casos são mutuamente exclusivos, somamos as possibilidades.

De onde vem cada valor: $1$ = passo 3 · $3$ = passo 4 · $5$ = passo 5

Resposta: 9 maneiras — alternativa D