Questão de Matemática — Ângulos Central, Inscrito e Semi-Inscrito — VUNESP 2024
Matemática›Ângulos Central, Inscrito e Semi-Inscrito
Código
vu206723
Banca
VUNESP
Órgão
FAMERP
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
A figura indica um círculo de centro O e um quadrilátero convexo CAIO, com C, A e I sendo pontos pertencentes à circunferência desse círculo. Tal quadrilátero representa o percurso em terreno plano, sempre em linha reta, feito por Márcia, que foi de C até A, de A até I, de I até O e, por fim, de O até C. Os ângulos internos CÂI e IÔC desse quadrilátero medem, respectivamente, 108º e α. Na condição descrita, α é igual a:
A162º
B144º
C154º
D172º
E152º
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GabaritoB — 144º
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a α = 144° — alternativa B.
A ideia por trás
Na circunferência, dois ângulos importantes são o central e o inscrito. O ângulo central tem o vértice no centro O e seus lados são raios; sua medida é exatamente a do arco que ele 'enxerga'. O ângulo inscrito tem o vértice sobre a circunferência e seus lados são cordas; sua medida é a metade do arco que ele enxerga. Ambos medem ângulos em graus, mas o que muda é a relação com o arco.
A relação fundamental é: ângulo central = arco correspondente, e ângulo inscrito = metade do arco correspondente. Assim, se um ângulo inscrito vale 108°, o arco que ele enxerga vale 216°. Como a circunferência inteira tem 360°, o outro arco entre os mesmos pontos vale 144°. O ângulo central que enxerga esse arco maior vale 144°. Essa relação vale para qualquer arco, desde que o ângulo inscrito tenha o vértice na circunferência e os lados passando pelos extremos do arco.
A questão mistura os dois: o ângulo CÂI é inscrito e o ângulo IÔC é central, mas eles enxergam arcos diferentes entre C e I. O passo crucial é identificar qual arco cada um enxerga e usar a soma 360°.
O que a questão dá
ângulo CÂI = 108°
C, A e I pertencem à circunferência
O é o centro do círculo
CAIO é um quadrilátero convexo
O que queremos: o valor do ângulo α = IÔC
Passo 1 — Calcular o arco menor CI
O ângulo CÂI tem vértice em A, que está na circunferência, e seus lados passam por C e I. Isso o caracteriza como ângulo inscrito, e a propriedade dele é enxergar o arco CI que não contém A. Como o ângulo mede 108°, o arco correspondente mede o dobro.
Por que esta fórmula: A propriedade do ângulo inscrito diz que sua medida é metade do arco que ele enxerga. Então, para achar o arco, multiplicamos o ângulo por 2.
De onde vem cada valor: = enunciado: 108°
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 2 e achar que o arco vale 108°.
Passo 2 — Achar o arco maior CI
O ângulo IÔC é um ângulo central, e sua medida é igual à do arco que ele enxerga. Mas o ângulo interno do quadrilátero em O é o que fica dentro da região do quadrilátero, que corresponde ao arco CI que não contém A — o arco maior. Como a circunferência inteira tem 360°, subtraímos o arco menor.
Por que esta fórmula: A soma dos arcos que completam a circunferência é 360°. O arco maior é o que falta para completar o círculo.
De onde vem cada valor: = passo 1: 216°
NÃO CAIA NESSA!
Parar no passo 1 e achar que α = 216°, confundindo o arco menor com o ângulo interno.
Passo 3 — Relacionar o arco maior com α
O ângulo IÔC é central, então sua medida é exatamente a do arco que ele enxerga. Como o ângulo interno do quadrilátero em O enxerga o arco maior, α é igual a esse arco.
Por que esta fórmula: A definição de ângulo central: medida do ângulo = medida do arco correspondente.
De onde vem cada valor: = passo 2: 144°
NÃO CAIA NESSA!
Usar o arco menor (216°) como resposta, pois é o que o ângulo inscrito enxerga, mas não é o ângulo interno do quadrilátero.
