Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206724

Distância de ponto a reta: bissetriz dos quadrantes ímpares

Gabarito: letra E — a distância do ponto P(2, 8) à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares) é $3\sqrt{2}$ . Isso vem da fórmula da distância de ponto a reta: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ , aplicada à reta $x - y = 0$ .

A bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º) é a reta que passa pela origem e forma 45° com os eixos, onde todos os pontos têm coordenadas iguais, ou seja, $y = x$ . Em forma geral: $x - y = 0$ (ou $y - x = 0$ ). A distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento perpendicular que liga o ponto à reta — é a menor distância entre eles. A fórmula clássica da Geometria Analítica para isso é:

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

onde $ax + by + c = 0$ é a equação da reta e $(x_0, y_0)$ são as coordenadas do ponto.

Aplicando ao nosso caso: a reta é $x - y = 0$ , então $a = 1$ , $b = -1$ , $c = 0$ . O ponto é $P(2, 8)$ , logo $x_0 = 2$ , $y_0 = 8$ . Substituindo:

d = \frac{|1 \cdot 2 + (-1) \cdot 8 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 8|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}

Racionalizando: $\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ .

Portanto, a distância é $3\sqrt{2}$ .

A pegadinha clássica aqui é esquecer o módulo (distância é sempre positiva) ou errar a racionalização, deixando $\frac{6}{\sqrt{2}}$ em vez de $3\sqrt{2}$ . Outra armadilha é confundir a bissetriz dos quadrantes ímpares ( $y = x$ ) com a dos quadrantes pares ( $y = -x$ ). Se fosse $y = -x$ , a distância seria $\frac{|2 + 8|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ , que não aparece nas alternativas — mas é bom saber distinguir.

Guarde a fórmula e o passo a passo: identificar a reta, escrever na forma geral, aplicar a fórmula, simplificar. É exatamente isso que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$2\sqrt{2}$ seria o resultado se o numerador fosse 4 (por exemplo, se o ponto fosse (2, 2) ou (4, 0)). Aqui o numerador é 6, então o valor correto é $3\sqrt{2}$ . O candidato que marcou esta opção provavelmente errou a conta do módulo ou usou um ponto diferente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{9}{2} = 4,5$ não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Não há como chegar a esse valor com os dados fornecidos. É um distrator numérico sem relação com a fórmula.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ seria o resultado se o numerador fosse 3 (por exemplo, se o ponto fosse (1, 2) ou (2, 1)). Aqui o numerador é 6, então o valor correto é $3\sqrt{2}$ . O candidato que marcou esta opção provavelmente dividiu por 2 em vez de racionalizar corretamente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

6 é o valor do módulo $|2 - 8|$ antes da divisão por $\sqrt{2}$ . O candidato que marcou esta opção esqueceu de dividir pelo denominador $\sqrt{2}$ na fórmula da distância.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado: $d = \frac{|2 - 8|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ . A alternativa reproduz exatamente o resultado final após a racionalização.

NÃO CAIA NESSA!

A banca adora trocar a bissetriz dos quadrantes ímpares ( $y = x$ ) pela dos pares ( $y = -x$ ). Se você usar $y = -x$ , a conta dá $5\sqrt{2}$ , que não está nas opções — mas o erro de sinal no módulo pode levar a outros valores. Fique atento: a bissetriz dos quadrantes ímpares é sempre $y = x$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de distância de ponto a reta, memorize a fórmula $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ e sempre escreva a reta na forma geral $ax + by + c = 0$ antes de substituir. Isso evita erros de sinal e de identificação dos coeficientes.

Gabarito: letra E