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Questão de Matemática — Equações Exponenciais — VUNESP 2024

MatemáticaEquações Exponenciais
Código
vu206725
Banca
VUNESP
Órgão
FAMERP
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
Um elemento radioativo decai de modo que a quantidade restante f(t) do elemento após t segundos é dada por f(t) = 60 ⋅ 2–0,02t. Sendo assim, a diferença entre quantidades restantes desse elemento radioativo após 50 segundos e 150 segundos, na unidade de medida de f(t), será igual a
  1. A22,5.
  2. B15,0.
  3. C36,0.
  4. D18,5.
  5. E12,5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 22,5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 22,5 — alternativa A.

A ideia por trás

Uma função exponencial descreve grandezas que mudam a uma taxa proporcional ao seu valor atual, como o decaimento radioativo. Aqui, f(t) mede quanto do elemento ainda resta após t segundos; a quantidade inicial é 60, e o expoente negativo faz o valor diminuir com o tempo.

A forma geral é f(t) = Q₀ · a^(kt), com Q₀ a quantidade inicial, a a base (aqui 2), k a taxa de decaimento e t o tempo. Como a base é maior que 1, o expoente negativo −0,02t encolhe o valor: quanto maior t, menor f(t). A propriedade a^(−n) = 1/aⁿ transforma a potência em fração, facilitando o cálculo.

Esta questão pede para aplicar a função em dois instantes e subtrair os resultados, usando a propriedade do expoente negativo para achar f(50) e f(150).

O que a questão dá

  • função: f(t) = 60 · 2^(−0,02t)

  • tempo 1: 50 s

  • tempo 2: 150 s

O que queremos: a diferença entre as quantidades restantes após 50 s e 150 s

Passo 1 — Calcular a quantidade após 50 segundos

Precisamos do valor da função no primeiro instante pedido. Substituir t por 50 no expoente é o primeiro passo para comparar as quantidades.

Por que esta fórmula: Usamos a própria função dada, f(t) = 60 · 2^(−0,02t), substituindo t por 50. O expoente −0,02·50 = −1, e pela propriedade a^(−n) = 1/aⁿ, 2^(−1) = 1/2.

f(50) = 60 · 2^-0,02 · 50

De onde vem cada valor: 6060 = enunciado: quantidade inicial · 0,020{,}02 = enunciado: coeficiente no expoente · 5050 = enunciado: tempo 1

f(50)=60⋅2−1=60⋅12=30f(50) = 60 \cdot 2^{-1} = 60 \cdot \frac{1}{2} = \boxed{30}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 2^(−1) = 1/2 e calcular 2^(−1) = −2, o que daria resultado negativo.

Passo 2 — Calcular a quantidade após 150 segundos

Agora precisamos do valor no segundo instante para depois subtrair. O expoente fica −0,02·150 = −3, e 2^(−3) = 1/8.

Por que esta fórmula: Mesma função, agora com t = 150. A propriedade do expoente negativo transforma a potência em fração: 2^(−3) = 1/2³ = 1/8.

f(150) = 60 · 2^-0,02 · 150

De onde vem cada valor: 6060 = enunciado: quantidade inicial · 0,020{,}02 = enunciado: coeficiente no expoente · 150150 = enunciado: tempo 2

f(150)=60⋅2−3=60⋅18=7,5f(150) = 60 \cdot 2^{-3} = 60 \cdot \frac{1}{8} = \boxed{7{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a potência: 2^(−3) = 1/8, não 1/4; quem usa 1/4 obtém 15, que é uma alternativa errada.

Passo 3 — Subtrair as quantidades encontradas

A pergunta pede a diferença entre as quantidades restantes, então subtraímos o valor de 150 s do valor de 50 s.

Por que esta fórmula: Diferença é subtração: f(50) − f(150).

Δ=f(50)−f(150)\Delta = f(50) - f(150)

De onde vem cada valor: f(50)f(50) = passo 1: 30 · f(150)f(150) = passo 2: 7,5

Δ=30−7,5=22,5\Delta = 30 - 7{,}5 = \boxed{22{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem inversa (7,5 − 30 = −22,5) e marcar valor negativo, ou esquecer de subtrair e marcar 30.

Resposta: 22,5 — alternativa A

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