Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

Cilindro: área total e volume

Gabarito: letra D. A condição "área total numericamente igual ao volume" leva à equação $2\pi r h + 2\pi r^2 = \pi r^2 h$, que, simplificada, resulta em $r = \dfrac{2h}{h-2}$ — exatamente a alternativa D. A resolução exige conhecer as fórmulas da área total e do volume do cilindro reto e manipular algebricamente a igualdade.

O cilindro circular reto é um sólido de revolução: imagine um retângulo girando em torno de um de seus lados — esse lado vira a altura $h$, e o outro lado vira o raio $r$ da base. A base é um círculo, e a superfície lateral, quando "aberta", forma um retângulo de base $2\pi r$ (o comprimento da circunferência) e altura $h$. Por isso:

• Área da base: $A_b = \pi r^2$

• Área lateral: $A_l = 2\pi r h$

• Área total: $A_t = A_l + 2A_b = 2\pi r h + 2\pi r^2$

• Volume: $V = A_b \cdot h = \pi r^2 h$

A questão pede que a área total seja numericamente igual ao volume. Isso significa que podemos igualar as expressões, pois ambas estão na mesma unidade de medida (por exemplo, cm² e cm³, que numericamente coincidem). Montando a equação:

Dividindo ambos os lados por $\pi$ (já que $\pi \neq 0$):

Agora, isolamos $r$. Colocando $r$ em evidência no lado esquerdo:

Como $r > 0$ (raio de um cilindro), podemos dividir ambos os lados por $r$:

Reorganizando para isolar os termos com $r$ de um lado:

Finalmente:

Essa é a expressão procurada. Note que a condição $h \neq 2$ é necessária para que a fração exista; geometricamente, se $h = 2$, a equação original não teria solução com $r$ positivo, o que é coerente.

A pegadinha clássica dessa questão é o candidato confundir a área total com a área lateral, usando apenas $2\pi r h$ na igualdade. Isso levaria a $2\pi r h = \pi r^2 h$, que simplifica para $r = 2$ — um valor constante, que não aparece nas alternativas. A banca explora exatamente esse erro: quem esquece de somar as duas bases ($2\pi r^2$) não chega a nenhuma das opções e precisa refazer o cálculo.

Outra armadilha é errar a manipulação algébrica ao isolar $r$, especialmente ao dividir por $r$ sem considerar que $r > 0$, ou ao trocar os sinais ao passar termos de lado. A organização passo a passo evita esses deslizes.

Guarde a distinção entre área lateral e área total: a total inclui as duas bases circulares. É exatamente essa diferença que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\dfrac{h}{h-1}$ não satisfaz a equação. Se substituíssemos esse valor na equação $2h + 2r = rh$, obteríamos uma identidade falsa para $h$ genérico. Esse formato lembra o resultado de isolar $r$ em outras relações, mas não é o que a igualdade área-volume produz.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\dfrac{2h}{2-h}$ é o inverso do sinal do denominador da resposta correta. O denominador correto é $h-2$, não $2-h$. Essa troca de sinal é um distrator comum: o candidato que erra ao passar o termo $2r$ para o outro lado da equação pode inverter a ordem dos termos no denominador.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\dfrac{h}{1-h}$ não tem relação com a equação derivada. O numerador deveria ser $2h$ e o denominador $h-2$; aqui ambos estão alterados. Provavelmente um distrator aleatório para testar se o aluno realmente resolveu a equação ou apenas chutou um formato de fração.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, partindo de $2\pi r h + 2\pi r^2 = \pi r^2 h$ e isolando $r$, chegamos exatamente a $r = \dfrac{2h}{h-2}$. A alternativa espelha o resultado algébrico correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\dfrac{h^2}{h-2}$ tem o denominador correto, mas o numerador errado: seria $h^2$ em vez de $2h$. Esse erro pode surgir se o candidato, ao invés de dividir por $r$ corretamente, fizer uma manipulação equivocada, como multiplicar cruzado de forma incorreta.

Gabarito: letra D