Questão de Matemática — Logaritmo — VUNESP 2024

Logaritmos: propriedades operatórias

Gabarito: letra A. O logaritmo de 14 na base 10 pode ser escrito como $\log_{10}(14) = \log_{10}(2 \cdot 7) = \log_{10} 2 + \log_{10} 7$. Como $\log_{10} 2 = \log_{10}(10/5) = \log_{10} 10 - \log_{10} 5 = 1 - y$, temos $\log_{10} 14 = (1 - y) + x = 1 + x - y$. A resolução usa as propriedades do logaritmo do produto e do quociente.

O logaritmo é o expoente ao qual se deve elevar a base para obter um certo número. Por exemplo, $\log_{10} 100 = 2$, pois $10^2 = 100$. As propriedades operatórias permitem transformar multiplicações em somas e divisões em subtrações, o que é a chave para resolver esta questão.

A propriedade do logaritmo do produto afirma que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores: $\log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$. Já a propriedade do logaritmo do quociente afirma que o logaritmo de um quociente é a diferença entre o logaritmo do numerador e o do denominador: $\log_b(x/y) = \log_b x - \log_b y$. Além disso, $\log_b b = 1$, pois $b^1 = b$.

No problema, temos $\log_{10} 7 = x$ e $\log_{10} 5 = y$. Queremos $\log_{10} 14$. Como $14 = 2 \cdot 7$, precisamos expressar $\log_{10} 2$ em termos de $y$. Observe que $2 = 10/5$, então $\log_{10} 2 = \log_{10}(10/5) = \log_{10} 10 - \log_{10} 5 = 1 - y$. Substituindo: $\log_{10} 14 = \log_{10}(2 \cdot 7) = \log_{10} 2 + \log_{10} 7 = (1 - y) + x = 1 + x - y$.

A pegadinha clássica é inverter os sinais ou confundir as propriedades: usar a propriedade do quociente onde deveria ser a do produto, ou trocar a ordem da subtração. Aqui, a banca explora exatamente a necessidade de decompor o 14 em fatores que envolvam 7 e 5, e de lembrar que $\log_{10} 10 = 1$.

Guarde o passo a passo: decompor o logaritmando em fatores conhecidos, aplicar a propriedade do produto, e usar a propriedade do quociente para expressar o logaritmo de 2 em função de $y$. É esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\log_{10} 14 = \log_{10}(2 \cdot 7) = \log_{10} 2 + \log_{10} 7$. Como $\log_{10} 2 = \log_{10}(10/5) = 1 - y$, temos $\log_{10} 14 = (1 - y) + x = 1 + x - y$. A alternativa reproduz exatamente essa expressão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{x - y}{2}$ não corresponde a nenhuma propriedade aplicada ao caso. Ela sugere uma média ou uma divisão que não tem fundamento nas propriedades dos logaritmos. O erro é tentar "dividir" a diferença dos logaritmos, quando a operação correta é a soma $1 + x - y$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $-1 + x + y$ troca o sinal do termo constante. Ela corresponderia a $\log_{10} 14 = \log_{10} 7 + \log_{10} 5 - 1$, o que não é verdade. O erro está em subtrair 1 em vez de somar 1, confundindo a relação $\log_{10} 2 = 1 - y$ com $y - 1$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{5(x - y)}{7}$ é uma fração que não tem relação com as propriedades dos logaritmos. Ela parece uma tentativa de "proporção" entre os números 5 e 7, mas logaritmos não se comportam assim. O erro é tratar os logaritmos como grandezas proporcionais aos logaritmandos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $1 - x + y$ inverte os sinais de $x$ e $y$. Ela corresponderia a $\log_{10} 14 = 1 - \log_{10} 7 + \log_{10} 5$, o que não é verdade. O erro está em trocar a ordem da subtração na expressão de $\log_{10} 2$: o correto é $1 - y$, não $y - 1$.

Gabarito: letra A