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Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2024

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
vu206729
Banca
VUNESP
Órgão
FAMERP
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
O lucro L(x), em reais, de uma empresa em função do número x de empregados que nela trabalham é dado por L(x) = – x2 + 820x. De acordo com tal modelo, o lucro máximo que essa empresa pode obter é igual a
  1. AR$ 168.100,00.
  2. BR$ 336.200,00.
  3. CR$ 164.000,00.
  4. DR$ 84.050,00.
  5. ER$ 328.000,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — R$ 168.100,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a R$ 168.100,00 — alternativa A.

A ideia por trás

A função de segundo grau, ou função quadrática, tem a forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola, e o sinal do coeficiente a decide se ela abre para cima (a > 0, vértice é ponto de mínimo) ou para baixo (a < 0, vértice é ponto de máximo). Aqui, a = -1, então a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto — o lucro máximo.

O vértice da parábola tem abscissa x_v = -b/(2a) e ordenada y_v = f(x_v). A abscissa indica o valor de x que maximiza (ou minimiza) a função, e a ordenada é o próprio valor máximo (ou mínimo). Quando a < 0, a ordenada é o máximo; quando a > 0, é o mínimo. Para achar o lucro máximo, basta calcular x_v e substituir na função.

Esta questão pede exatamente o valor máximo da função lucro. Como a = -1 < 0, o máximo ocorre no vértice, então calculamos x_v e depois L(x_v).

O que a questão dá

  • função lucro: L(x) = -x² + 820x

  • x = número de empregados

O que queremos: o lucro máximo que a empresa pode obter

Passo 1 — Identificar os coeficientes da função

Para usar a fórmula do vértice, precisamos saber quem são a, b e c na forma geral f(x) = ax² + bx + c. Comparando com L(x) = -x² + 820x, vemos que a = -1, b = 820 e c = 0 (não há termo constante).

Por que esta fórmula: A forma geral da função quadrática é f(x) = ax² + bx + c; identificar os coeficientes é o primeiro passo para aplicar qualquer fórmula do vértice.

a = -1, b = 820, c = 0

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a = -1 (com o sinal negativo) e usar a = 1, o que inverteria o sentido da concavidade.

Passo 2 — Calcular a abscissa do vértice

O vértice é o ponto onde a parábola atinge o máximo (ou mínimo). A abscissa x_v indica o número de empregados que dá o lucro máximo; precisamos dela para depois calcular o valor do lucro.

Por que esta fórmula: A fórmula x_v = -b/(2a) vem da derivada da função quadrática (ou da simetria da parábola). Ela dá o ponto de máximo ou mínimo.

xv=−b2ax_v = \frac{-b}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 1: 820 · aa = passo 1: -1

xv=−8202⋅(−1)=410x_v = \frac{-820}{2 \cdot (-1)} = \boxed{410}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar o sinal: usar x_v = -b/(2a) com a = 1 daria -410, mas como a é negativo, o resultado é positivo.

Passo 3 — Substituir x_v na função lucro

A abscissa do vértice sozinha não responde a pergunta; precisamos do valor do lucro nesse ponto. Substituir x = 410 na função L(x) dá o lucro máximo.

Por que esta fórmula: O valor máximo da função é a ordenada do vértice, que se obtém calculando f(x_v).

L(xv)=−xv2+820⋅xvL(x_v) = -x_v^{2} + 820 \cdot x_v

De onde vem cada valor: xvx_v = passo 2: 410 · 820820 = enunciado: coeficiente de x na função

L(410)=−4102+820⋅410=168100L(410) = -410^{2} + 820 \cdot 410 = \boxed{168100}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular -410² como +168100 em vez de -168100; o sinal negativo se aplica ao quadrado.

Resposta: R$ 168.100,00 — alternativa A

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