Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206730

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a R$ 85.000,00 — alternativa E.

A ideia por trás

A depreciação é a perda de valor de um bem com o tempo. Quando essa perda é uma porcentagem fixa por ano, o valor não cai de forma linear (sempre o mesmo valor em reais), mas sim de forma exponencial: cada ano o carro vale uma porcentagem do valor do ano anterior. A função que descreve isso é V(t) = V₀ · (1 - i)^t, onde V₀ é o valor inicial, i é a taxa em decimal e t é o tempo em anos.

A relação central é que o valor após t anos é V(t) = V₀ · (1 - i)^t. Aqui, (1 - i) é o fator de depreciação: se a taxa é 20%, o fator é 0,80, ou seja, a cada ano o carro vale 80% do que valia no ano anterior. Como a taxa incide sobre o valor já depreciado, a perda acumulada em dois anos não é 40% do valor inicial, mas sim 1 - (0,80)² = 0,36, ou seja, 36%. Isso porque 0,80² = 0,64, e 1 - 0,64 = 0,36.

Esta questão cobra exatamente essa diferença: a desvalorização em 2 anos é a diferença entre o valor inicial e o valor após 2 anos, que é V₀ - V₀·0,64 = 0,36·V₀. Igualando isso a R$ 30.600,00, encontramos V₀.

O que a questão dá

taxa de depreciação = 20% ao ano
tempo = 2 anos
desvalorização total = R$ 30.600,00

O que queremos: o valor inicial do automóvel (V₀)

Passo 1 — Calcular o fator de depreciação em 2 anos

Precisamos saber quanto do valor inicial resta após 2 anos. Como a depreciação é exponencial, o fator é (0,80)², pois a cada ano multiplicamos por 0,80.

Por que esta fórmula: A fórmula V(t) = V₀ · (1 - i)^t nos dá o valor após t anos. Para t = 2 e i = 0,20, o fator é (0,80)².

fator = (0{,}80)^{2}

De onde vem cada valor: $0{,}80$ = enunciado: taxa de 20% ao ano, então fator = 1 - 0,20 = 0,80 · $2$ = enunciado: após 2 anos

fator = 0{,}80 \times 0{,}80 = \boxed{0{,}64}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e usar 0,80 diretamente, o que daria uma desvalorização de 20% em vez de 36%.

Passo 2 — Expressar a desvalorização em função de V₀

Sabemos que o carro perdeu R$ 30.600,00 em 2 anos. Essa perda é a diferença entre o valor inicial e o valor após 2 anos, que acabamos de calcular como 0,64·V₀.

Por que esta fórmula: A desvalorização é V₀ - V(2) = V₀ - 0,64·V₀ = 0,36·V₀. Isso porque o valor após 2 anos é 64% do inicial, então a perda é 36%.

desvalorizacao = V_0 - 0{,}64 \cdot V_0 = 0{,}36 \cdot V_0

De onde vem cada valor: $V_0$ = definição: valor inicial do automóvel · $0{,}64$ = passo 1: fator de depreciação em 2 anos · $0{,}36$ = constante: 1 - 0,64 = 0,36

30.600 = 0{,}36 \cdot V_0

NÃO CAIA NESSA!

Usar 0,40 em vez de 0,36, pensando que a desvalorização é 2 × 20% = 40%.

Passo 3 — Isolar V₀ na equação

Temos uma equação simples com V₀ multiplicado por 0,36. Para descobrir V₀, dividimos ambos os lados por 0,36.

Por que esta fórmula: A equação 30.600 = 0,36·V₀ é uma multiplicação; para isolar V₀, dividimos pelo coeficiente.

V_0 = \frac{30.600}{0{,}36}

De onde vem cada valor: $30.600$ = enunciado: desvalorização total · $0{,}36$ = passo 2: fração do valor inicial perdida

V_0 = \frac{30.600}{0{,}36} = \boxed{85.000}

NÃO CAIA NESSA!

Dividir 30.600 por 0,40 (se tiver usado 40% no passo anterior) e obter 76.500, que é a alternativa B.

Resposta: R$ 85.000,00 — alternativa E

Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — VUNESP 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o fator de depreciação em 2 anos

Passo 2 — Expressar a desvalorização em função de V₀

Passo 3 — Isolar V₀ na equação