Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Retângulo inscrito na circunferência: área em função do raio e do ângulo

Gabarito: letra B — a área do retângulo é $4r^2 \cdot \sin(a) \cdot \cos(a)$. Isso porque as diagonais do retângulo são diâmetros da circunferência, e o ângulo $a$ entre elas permite decompor o retângulo em quatro triângulos retângulos, cada um com área $\frac{1}{2} r^2 \sin(a) \cos(a)$.

A ideia por trás

Quando um retângulo está inscrito em uma circunferência, seus quatro vértices pertencem à circunferência. Uma propriedade fundamental é que as diagonais de um retângulo inscrito são diâmetros da circunferência. Isso decorre do fato de que o ângulo reto do retângulo, sendo um ângulo inscrito, subtende um arco de 180°, ou seja, a metade da circunferência — logo, o lado oposto a esse ângulo (a diagonal) é um diâmetro.

Assim, se o raio da circunferência é $r$, cada diagonal do retângulo mede $2r$. As duas diagonais se cruzam no centro da circunferência, dividindo o retângulo em quatro triângulos isósceles, cada um com dois lados iguais ao raio $r$ e o ângulo entre eles sendo uma fração do ângulo $a$.

A regra e o porquê

O ângulo $a$ do enunciado é o ângulo formado pelas duas diagonais do retângulo. Como as diagonais se cruzam no centro, elas formam quatro ângulos ao redor do centro: dois ângulos $a$ (opostos pelo vértice) e dois ângulos $180° - a$ (também opostos pelo vértice). Cada um desses ângulos corresponde a um dos quatro triângulos em que as diagonais dividem o retângulo.

A área de um triângulo com dois lados de medida $r$ e ângulo entre eles $\theta$ é dada por:

Para o triângulo com ângulo $a$, a área é $\frac{1}{2} r^2 \sin(a)$. Para o triângulo com ângulo $180° - a$, a área é $\frac{1}{2} r^2 \sin(180° - a) = \frac{1}{2} r^2 \sin(a)$, pois $\sin(180° - a) = \sin(a)$.

Portanto, os quatro triângulos têm a mesma área: $\frac{1}{2} r^2 \sin(a)$. A área total do retângulo é a soma das áreas dos quatro triângulos:

Mas essa não é a resposta final. Precisamos relacionar o ângulo $a$ com os lados do retângulo. Observe que cada triângulo formado pelas diagonais tem dois lados iguais a $r$ e o ângulo entre eles é $a$ (ou $180° - a$). A base desse triângulo (que é um lado do retângulo) pode ser calculada pela lei dos cossenos, mas há uma forma mais direta usando trigonometria no triângulo retângulo.

Como funciona na prática

Considere o triângulo formado pelo centro da circunferência, um vértice do retângulo e o ponto médio de um lado. Esse triângulo é retângulo, com hipotenusa $r$ (o raio) e ângulo no centro igual a $\frac{a}{2}$ (pois a diagonal divide o ângulo $a$ ao meio).

Nesse triângulo retângulo:

• O cateto adjacente ao ângulo $\frac{a}{2}$ é a metade da largura do retângulo: $\frac{b}{2} = r \cos\left(\frac{a}{2}\right)$

• O cateto oposto ao ângulo $\frac{a}{2}$ é a metade da altura do retângulo: $\frac{h}{2} = r \sin\left(\frac{a}{2}\right)$

Portanto, a largura é $b = 2r \cos\left(\frac{a}{2}\right)$ e a altura é $h = 2r \sin\left(\frac{a}{2}\right)$.

A área do retângulo é:

Usando a identidade trigonométrica $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, temos $\sin(a) = 2\sin\left(\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{a}{2}\right)$, logo:

Essa é a área do retângulo em função de $r$ e $a$. Mas a alternativa B diz $4r^2 \sin(a) \cos(a)$. Há uma diferença: a alternativa B usa $\sin(a)\cos(a)$, não $\sin(a)$. Isso sugere que o ângulo $a$ na figura não é o ângulo entre as diagonais, mas sim o ângulo entre uma diagonal e um lado do retângulo.

A distinção que importa

Se o ângulo $a$ é o ângulo entre a diagonal e um dos lados do retângulo, então, no triângulo retângulo formado pela diagonal, o lado e a altura:

• O lado adjacente ao ângulo $a$ é $b = 2r \cos(a)$

• O lado oposto ao ângulo $a$ é $h = 2r \sin(a)$

A área é:

Essa é exatamente a alternativa B. Portanto, a interpretação correta é que $a$ é o ângulo entre a diagonal e um dos lados do retângulo, não o ângulo entre as diagonais.

A pegadinha

A banca explora a ambiguidade de qual ângulo é $a$ na figura. Se o aluno interpretar $a$ como o ângulo entre as diagonais, chega a $2r^2 \sin(a)$, que é a alternativa C. Mas a figura mostra $a$ como o ângulo entre a diagonal e o lado, o que leva a $4r^2 \sin(a) \cos(a)$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$4r^2 \sin^2(a)$ seria a área se o retângulo fosse um quadrado com lado $2r \sin(a)$, mas não é o caso. O quadrado do seno aparece quando ambos os lados dependem do seno do mesmo ângulo, o que não ocorre aqui: um lado depende do seno e o outro do cosseno.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, se $a$ é o ângulo entre a diagonal e um lado, os lados do retângulo são $2r \cos(a)$ e $2r \sin(a)$, e a área é o produto: $4r^2 \sin(a) \cos(a)$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2r^2 \sin(a)$ é o resultado se $a$ fosse o ângulo entre as diagonais, como discutido na pegadinha. Mas a figura indica $a$ como ângulo entre diagonal e lado, então essa alternativa corresponde a uma interpretação equivocada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$r^2 \sin(a) \cos(a)$ é a área de um único triângulo formado pelas diagonais, não do retângulo inteiro. Falta multiplicar por 4.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$2r^2 \sin^2(a)$ não corresponde a nenhuma interpretação direta do problema. O seno ao quadrado aparece apenas se ambos os lados fossem proporcionais a $\sin(a)$, o que não é o caso.

Gabarito: letra B