Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2024
Matemática›Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu206733
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
1º AEM ( )
Observe a construção geométrica usada para calcular o comprimento que uma ponte deveria ter.
I. Considerou-se o comprimento da ponte como o segmento AB
II. Em seguida, foi traçado um segmento CD, de 30 metros, paralelo ao segmento
III. Prolongou-se os segmentos AD e BC até que se encontrassem no ponto E.
SeAD mede 35 metroseDE mede 25 metros, qual é a largura da ponte?
A62 m.
B80 m.
C72 m.
D60 m.
E95 m.
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GabaritoC — 72 m.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a AB = 72 m — alternativa C.
A ideia por trás
Dois triângulos são semelhantes quando têm os três ângulos internos iguais, um a um. Quando isso acontece, os lados que ficam entre ângulos iguais são chamados de correspondentes, e a razão entre eles é sempre a mesma — essa razão é o fator de escala que transforma um triângulo no outro. É como ampliar uma foto: tudo cresce na mesma proporção.
Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre dois lados correspondentes quaisquer é constante. Ou seja, se o lado maior é o dobro do menor, todos os outros lados do maior também serão o dobro dos seus correspondentes no menor. Essa propriedade vale para qualquer par de lados correspondentes, desde que a correspondência esteja correta — é exatamente aí que mora a pegadinha.
A construção forma dois triângulos semelhantes: o pequeno CDE e o grande ABE. Para achar AB, precisamos identificar corretamente quais lados de um correspondem aos do outro e aplicar a razão de semelhança.
O que a questão dá
CD = 30 m
AD = 35 m
DE = 25 m
CD é paralelo a AB
O que queremos: o comprimento da ponte, que é o segmento AB
Passo 1 — Calcular o lado AE do triângulo maior
Para usar a razão de semelhança, precisamos de um par de lados correspondentes conhecidos. O lado DE (25 m) do triângulo menor corresponde ao lado AE do triângulo maior, pois ambos partem do vértice E e estão sobre a mesma reta. Mas AE não foi dado diretamente; ele é a soma de AD e DE.
Por que esta fórmula: AE é o segmento que vai de A até E, passando por D. Então AE = AD + DE.
De onde vem cada valor: = enunciado: 35 m · = enunciado: 25 m
NÃO CAIA NESSA!
Usar AD (35 m) como se fosse o lado correspondente a DE, esquecendo que o lado do triângulo maior que corresponde a DE é AE, que inclui AD.
Passo 2 — Montar a razão de semelhança entre os triângulos
Com o par de lados correspondentes AE e DE conhecidos, podemos calcular a razão de semelhança entre o triângulo maior e o menor. Essa razão vale para todos os outros pares de lados correspondentes.
Por que esta fórmula: A razão de semelhança k é a razão entre um lado do triângulo maior e o lado correspondente do menor. Como AE corresponde a DE, temos k = AE/DE.
De onde vem cada valor: = passo 1: 60 m · = enunciado: 25 m
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a razão, usando DE/AE = 25/60, o que daria um fator menor que 1 e levaria a um AB menor que CD, o que é impossível na figura.
Passo 3 — Aplicar a razão para achar AB
Agora que temos a razão de semelhança, podemos usá-la no par de lados correspondentes AB e CD. Como AB é o lado do triângulo maior e CD o do menor, a razão AB/CD deve ser igual a k.
Por que esta fórmula: Pela semelhança, a razão entre lados correspondentes é constante: AB/CD = k. Isolando AB, multiplicamos CD por k.
De onde vem cada valor: = enunciado: 30 m · = passo 2: 2,4
NÃO CAIA NESSA!
Usar a razão errada DE/AD = 25/35 = 5/7, que relaciona lados que não são correspondentes, e obter 42 m — um valor que nem aparece nas alternativas, mas que é a pegadinha clássica.
