Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2024

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Gabarito: letra E. A distância entre P(6,1) e Q(1,4) é calculada pela fórmula da distância euclidiana, que decorre do Teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Substituindo os valores, temos $d = \sqrt{(1-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$ — exatamente o que a alternativa E apresenta.

A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une. No plano cartesiano, esse segmento pode ser visto como a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos são as diferenças entre as coordenadas x (horizontal) e y (vertical) dos pontos. Essa é a essência da fórmula: ela nada mais é que o Teorema de Pitágoras aplicado a um sistema de coordenadas.

Para aplicar a fórmula, o primeiro passo é identificar as coordenadas: $P(x_1, y_1) = (6, 1)$ e $Q(x_2, y_2) = (1, 4)$. Em seguida, calculamos as diferenças: $\Delta x = x_2 - x_1 = 1 - 6 = -5$ e $\Delta y = y_2 - y_1 = 4 - 1 = 3$. Como a fórmula eleva ao quadrado, o sinal negativo de $\Delta x$ desaparece: $(-5)^2 = 25$. Somamos os quadrados e extraímos a raiz quadrada: $d = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.

A pegadinha desta questão está em identificar corretamente quais são as diferenças entre as coordenadas. A banca oferece alternativas que usam combinações erradas — como somar as próprias coordenadas, usar apenas uma das diferenças ou trocar os sinais. O candidato que não domina a fórmula pode se perder. A dica é: sempre subtraia as coordenadas correspondentes (x com x, y com y), na mesma ordem, e eleve ao quadrado antes de somar.

Guarde o passo a passo: 1) identifique os pontos; 2) calcule $\Delta x$ e $\Delta y$; 3) eleve ambos ao quadrado; 4) some; 5) extraia a raiz quadrada. É exatamente esse roteiro que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Usa $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Esse cálculo não corresponde a nenhuma diferença entre as coordenadas dos pontos. Os números 1 e 1 não são as diferenças $\Delta x$ e $\Delta y$ (que são -5 e 3). Parece uma tentativa de usar as coordenadas de forma aleatória, sem aplicar a fórmula corretamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Usa $\sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{74}$. Aqui, 7 e 5 são as somas das coordenadas: $6+1=7$ e $1+4=5$. A banca troca a subtração pela adição, um erro clássico. A fórmula exige a diferença entre as coordenadas, não a soma.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Usa $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$. Os números 3 e 2 não são as diferenças entre as coordenadas. Note que $\Delta y = 3$ (de fato, $4-1=3$), mas $\Delta x$ deveria ser $1-6 = -5$, não 2. A alternativa usa apenas uma diferença correta e inventa a outra, provavelmente confundindo com outra operação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Usa $\sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52}$. Aqui, 6 e 4 são as próprias coordenadas de P e Q (a abscissa de P e a ordenada de Q). A banca usa as coordenadas diretamente, sem calcular as diferenças. A fórmula exige $\Delta x$ e $\Delta y$, não as coordenadas em si.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Usa $\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$. Este é o cálculo correto: $\Delta x = |1-6| = 5$ e $\Delta y = |4-1| = 3$. Elevando ao quadrado e somando: $25 + 9 = 34$, e a raiz quadrada de 34 é a distância procurada. A alternativa aplica a fórmula da distância euclidiana com as diferenças corretas entre as coordenadas.

A regra de ouro para levar para a prova: a distância entre dois pontos é sempre a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas correspondentes. Nunca use as coordenadas diretamente, nem as some — subtraia primeiro.

Gabarito: letra E