Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra C — a altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo é 2,4 u.c., obtida pela relação métrica $h = \frac{cateto_1 \times cateto_2}{hipotenusa}$. Essa é uma das relações métricas fundamentais do triângulo retângulo, que relaciona a altura relativa à hipotenusa com os catetos e a própria hipotenusa.

Para resolver a questão, precisamos entender o que são as relações métricas no triângulo retângulo. Quando traçamos a altura a partir do vértice do ângulo reto até a hipotenusa, dividimos o triângulo original em dois triângulos menores, também retângulos e semelhantes entre si e ao triângulo original. Dessa semelhança, surgem várias relações entre as medidas dos segmentos formados. A mais direta para este problema é a que envolve a altura: o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela. Em termos de fórmula, se os catetos medem $b$ e $c$ e a hipotenusa mede $a$, então a altura $h$ relativa à hipotenusa é dada por $h = \frac{b \cdot c}{a}$.

Vamos aplicar isso ao logotipo. A figura mostra um triângulo retângulo ABC, reto em C, com a altura CD traçada até a hipotenusa AB. As medidas impressas são: AC = 3 u.c., BC = 4 u.c. e AB = 5 u.c. (essas medidas são típicas de um triângulo retângulo pitagórico, onde 3² + 4² = 5²). A altura CD é o que precisamos encontrar. Usando a relação métrica:

$h = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$ u.c.

Portanto, a altura do logotipo é 2,4 u.c.

É importante notar que essa relação é uma consequência direta do cálculo da área do triângulo. A área de um triângulo retângulo pode ser calculada como metade do produto dos catetos ($\frac{b \times c}{2}$) ou como metade do produto da base pela altura ($\frac{a \times h}{2}$). Igualando as duas expressões, obtemos $b \times c = a \times h$, e isolando $h$, chegamos à fórmula usada. Essa é uma forma de verificar o resultado: a área é $\frac{3 \times 4}{2} = 6$ u.c.², e usando a base AB = 5 e a altura h, temos $\frac{5 \times h}{2} = 6$, o que dá $h = \frac{12}{5} = 2,4$ u.c.

A pegadinha que a banca pode explorar é o aluno tentar usar o Teorema de Pitágoras diretamente para encontrar a altura, o que não funciona, pois a altura não é um dos lados do triângulo original. Outra confusão comum é inverter a fórmula, multiplicando a hipotenusa pelos catetos e dividindo por algo, o que levaria a um valor incorreto. A chave é lembrar que a altura relativa à hipotenusa é sempre menor que os catetos, o que já eliminaria as alternativas A (3,2), D (2,9) e E (3,8), que são maiores que o cateto menor (3).

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 3,2 u.c. é maior que o cateto menor (3 u.c.). Como a altura relativa à hipotenusa é sempre menor que qualquer um dos catetos, esse valor é geometricamente impossível. Esse número poderia surgir de um erro de cálculo, como dividir 16 por 5 (16/5 = 3,2), talvez confundindo a relação com outra que envolve a projeção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2,1 u.c. não corresponde a nenhuma relação métrica direta com os lados 3, 4 e 5. Poderia ser resultado de um cálculo incorreto, como $\frac{3 \times 4}{5} = 2,4$ e depois subtrair 0,3, ou de uma confusão com a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A altura relativa à hipotenusa é calculada pela relação $h = \frac{cateto_1 \times cateto_2}{hipotenusa}$. Substituindo os valores: $h = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$ u.c. Esse é o valor correto, que também é menor que ambos os catetos, como esperado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2,9 u.c. é maior que o cateto menor (3 u.c.)? Não, 2,9 é menor que 3, mas ainda assim não é o valor correto. Esse número poderia surgir de um erro de cálculo, como $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ e depois dividir por algo errado, ou de uma confusão com a projeção de um cateto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 3,8 u.c. é maior que o cateto menor (3 u.c.), o que é geometricamente impossível para a altura relativa à hipotenusa. Esse valor poderia vir de um erro como $\frac{3 \times 4}{3,2} = 3,75$, aproximado para 3,8, ou de uma confusão com outra relação.

A regra de ouro para questões de relações métricas no triângulo retângulo é: identifique os catetos e a hipotenusa, e use a relação $h = \frac{b \cdot c}{a}$ para a altura relativa à hipotenusa. Sempre confira se o resultado é plausível: a altura deve ser menor que os catetos.

Gabarito: letra C