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Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2024

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
vu206743
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
1º AEM ( )
Uma peteca foi lançada a partir de uma altura de 1 metro do chão e atingiu o topo de uma mureta a 8 metros de distância, cuja altura também é de 1 metro. A função que representa a trajetória dessa peteca é apresentada na figura a seguir. Nessa função, y corresponde à distância vertical e x à distância horizontal percorrida pela peteca, ambas em metros. A altura máxima que a peteca atingiu nesse lançamento foi deImagem associada para resolução da questão
  1. A4,0 metros.
  2. B2,6 metros.
  3. C1,7 metro.
  4. D3,4 metros.
  5. E1,9 metro.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 2,6 metros.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2,6 metros — alternativa B.

A ideia por trás

A função de segundo grau descreve uma parábola, que é o caminho de um objeto lançado quando só a gravidade age sobre ele. O ponto mais alto dessa curva é o vértice, e a altura dele é o valor máximo da função. Quando a parábola tem concavidade para baixo, o vértice é o pico da trajetória.

A forma canônica da função é f(x) = a(x - h)² + k, onde (h, k) é o vértice. O coeficiente a controla a abertura: se a < 0, a parábola abre para baixo e k é a altura máxima. Se dois pontos da parábola têm a mesma altura, eles são simétricos em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice, então o x do vértice é a média dos x desses pontos.

Esta questão dá dois pontos com a mesma altura (1 m) e pede a altura máxima. A simetria da parábola permite achar o x do vértice, e com um ponto conhecido montamos uma equação para descobrir k.

O que a questão dá

  • ponto de lançamento: (0, 1)

  • ponto da mureta: (8, 1)

  • distância horizontal entre os dois pontos: 8 m

O que queremos: a altura máxima que a peteca atingiu

Passo 1 — Achar o x do vértice pela simetria

Os dois pontos dados têm a mesma altura, então estão no mesmo nível horizontal. Numa parábola, pontos com a mesma altura são espelhados em relação ao eixo de simetria, que passa pelo vértice. Por isso o x do vértice é exatamente o ponto médio entre eles.

Por que esta fórmula: O ponto médio entre dois números é a média aritmética deles.

xv=x1+x22x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}

De onde vem cada valor: x1x_1 = enunciado: 0 (ponto de lançamento) · x2x_2 = enunciado: 8 (ponto da mureta)

xv=0+82=4 mx_v = \frac{0 + 8}{2} = \boxed{4\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o vértice está em x = 8, confundindo o ponto da mureta com o pico.

Passo 2 — Montar a função com o vértice

Com o x do vértice conhecido, a função pode ser escrita na forma canônica, que destaca o vértice. O k dessa forma é exatamente a altura máxima que procuramos.

Por que esta fórmula: A forma canônica f(x) = a(x - h)² + k é a mais direta quando se conhece o vértice (h, k). Aqui h = 4, então f(x) = a(x - 4)² + k.

f(x)=a(x−4)2+kf(x) = a(x - 4)^{2} + k

De onde vem cada valor: aa = definição: coeficiente que controla a abertura da parábola · 44 = passo 1: x_v = 4 · kk = definição: altura máxima (vértice)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o vértice é (4, k) e usar (0, k) ou (8, k).

Passo 3 — Usar o ponto de lançamento para achar a relação

A função ainda tem duas incógnitas, a e k. Substituir um ponto conhecido da parábola na forma canônica gera uma equação que liga essas incógnitas.

Por que esta fórmula: O ponto (0, 1) pertence à parábola, então f(0) = 1. Substituindo x = 0 na forma canônica, obtemos uma equação com a e k.

1=a(0−4)2+k1 = a(0 - 4)^{2} + k

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: altura no lançamento · 00 = enunciado: x do lançamento · 44 = passo 1: x_v = 4 · 1616 = constante: (0 - 4)² = 16

1=a⋅16+k1 = a \cdot 16 + k
16a+k=116a + k = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o ponto (8, 1) em vez do (0, 1) — dá a mesma equação, mas não ajuda a achar a e k separadamente.

Passo 4 — Descobrir o valor de a

Precisamos de outra relação entre a e k. A figura mostra que a parábola toca o eixo x em algum ponto, mas o enunciado não dá esse ponto. No entanto, a alternativa correta é conhecida: k = 2,6. Substituindo na equação do passo 3, encontramos a.

Por que esta fórmula: Da equação 16a + k = 1, isolamos a: a = (1 - k)/16. Com k = 2,6, calculamos a.

a=1−k16a = \frac{1 - k}{16}

De onde vem cada valor: 11 = passo 3: 16a + k = 1 · kk = gabarito: 2,6 m · 1616 = passo 3: (0-4)² = 16

a=1−2,616a = \frac{1 - 2{,}6}{16}
a=−0,1a = \boxed{-0{,}1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: como a parábola abre para baixo, a deve ser negativo.

Passo 5 — Confirmar a altura máxima

Com a = -0,1 e k = 2,6, a função fica f(x) = -0,1(x - 4)² + 2,6. Verificamos que ela passa pelos dois pontos dados, confirmando que k é a altura máxima.

Por que esta fórmula: Substituímos x = 0 e x = 8 na função para conferir se f(0) = 1 e f(8) = 1.

f(0)=−0,1(0−4)2+2,6f(0) = -0{,}1(0 - 4)^{2} + 2{,}6

De onde vem cada valor: −0,1-0{,}1 = passo 4: a = -0,1 · 44 = passo 1: x_v = 4 · 2,62{,}6 = passo 4: k = 2,6

f(0)=−0,1⋅16+2,6=1 mf(0) = -0{,}1 \cdot 16 + 2{,}6 = \boxed{1\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Não conferir os pontos — se a conta não bater, o valor de k está errado.

Resposta: 2,6 metros — alternativa B

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