Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206744

Área do círculo e do quadrado inscrito

Gabarito: letra A — a área do círculo é 6 vezes a área do quadrado (C = 6Q). Isso decorre de relacionar a diagonal do quadrado com o diâmetro do círculo: se a diagonal vale metade do diâmetro, então o lado do quadrado é $\frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{r}{\sqrt{2}}$ , e a razão entre as áreas resulta em 6.

O que a questão pede

Temos um círculo de raio $r$ e, no centro, um quadrado cuja diagonal $d$ é metade do diâmetro do círculo. Como o diâmetro é $2r$ , temos:

d = \frac{2r}{2} = r

A diagonal do quadrado é $r$ . Precisamos expressar a área do quadrado $Q$ em função de $r$ e comparar com a área do círculo $C = \pi r^2$ .

Relação entre diagonal e lado do quadrado

Num quadrado de lado $\ell$ , a diagonal é dada por:

d = \ell \sqrt{2}

Isso vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado por dois lados e a diagonal. Portanto, se $d = r$ , então:

\ell = \frac{r}{\sqrt{2}}

Cálculo das áreas

A área do quadrado é:

Q = \ell^2 = \left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{r^2}{2}

A área do círculo, com $\pi = 3$ , é:

C = \pi r^2 = 3r^2

Agora, a razão entre as áreas:

\frac{C}{Q} = \frac{3r^2}{r^2/2} = 3 \times 2 = 6

Portanto, $C = 6Q$ .

Por que as outras alternativas estão erradas

Cada alternativa errada corresponde a um erro comum de cálculo ou interpretação:

C = 4Q: ocorre se o aluno considerar a diagonal igual ao diâmetro (em vez de metade), obtendo $\ell = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$ , $Q = 2r^2$ e $C/Q = 3/2$ , ou se usar $\pi = 3,14$ e errar a relação.
C = 12Q: surge se o aluno esquecer de dividir por 2 ao calcular $Q$ (usando $Q = r^2$ em vez de $r^2/2$ ), obtendo $C/Q = 3$ , e depois multiplicar por 4 por engano.
C = 8Q: resultado de considerar a diagonal igual ao diâmetro ( $d = 2r$ ), obtendo $\ell = r\sqrt{2}$ , $Q = 2r^2$ , e depois errar ao simplificar $C/Q = 3/2$ para 8.
C = 3Q: ocorre se o aluno simplesmente igualar a área do círculo a $\pi r^2$ e a do quadrado a $r^2$ , ignorando a relação entre diagonal e lado.

A pegadinha da banca

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre diagonal e lado do quadrado. O candidato apressado pode achar que a diagonal é igual ao lado, ou que a diagonal é o diâmetro, e errar a relação. A chave é lembrar que a diagonal de um quadrado de lado $\ell$ é $\ell\sqrt{2}$ , e que aqui ela vale metade do diâmetro, ou seja, o próprio raio.

Resumo visual

Critério	Quadrado (Q)	Círculo (C)	Relação C/Q
Diagonal/lado	Diagonal = r → lado = r/√2	Raio = r	—
Área	Q = (r/√2)² = r²/2	C = πr² = 3r²	C/Q = 3r² ÷ (r²/2) = 6
Resultado	Q = r²/2	C = 3r²	C = 6Q

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $C = 3r^2$ e $Q = r^2/2$ , logo $C = 6Q$ . A alternativa reproduz exatamente essa relação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $C = 4Q$ . Isso ocorreria se a diagonal do quadrado fosse igual ao diâmetro (e não à metade), o que daria $\ell = r\sqrt{2}$ , $Q = 2r^2$ e $C/Q = 3/2$ , não 4. O erro está em não aplicar corretamente a condição do enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $C = 12Q$ . Esse valor surgiria se o aluno calculasse $Q = r^2$ (esquecendo a divisão por 2) e depois multiplicasse por 4 sem justificativa. Não há base geométrica para esse resultado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $C = 8Q$ . Esse número não corresponde a nenhuma combinação correta das relações entre diagonal, lado e áreas. Provavelmente resulta de um erro na simplificação da razão $C/Q$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $C = 3Q$ . Isso aconteceria se o aluno igualasse a área do quadrado a $r^2$ (como se o lado fosse $r$ ), ignorando a relação entre diagonal e lado. A área correta do quadrado é $r^2/2$ .

Gabarito: letra A