Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 30° — alternativa D.

A ideia por trás

Um losango é um quadrilátero com todos os lados iguais, e seus ângulos opostos são iguais. Os ângulos adjacentes são suplementares, ou seja, somam 180°. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos; quando ele tem um ângulo reto, chamamos de trapézio retângulo. Um triângulo é uma figura de três lados, e a soma de seus ângulos internos é sempre 180°.

Em qualquer quadrilátero, a soma dos ângulos internos é 360°. No losango, como os ângulos opostos são iguais, se um ângulo agudo mede x, o obtuso mede 2x, e temos x + 2x + x + 2x = 360°, o que dá x = 60°. Assim, os ângulos do losango são 60° e 120°. No triângulo, a soma dos ângulos é 180°, então conhecendo dois ângulos, o terceiro é a diferença.

Esta questão pede para usar a relação entre os ângulos do losango e os ângulos do triângulo formado na figura. Precisamos primeiro descobrir os ângulos do losango e depois usar a soma dos ângulos do triângulo.

O que a questão dá

• losango: ângulo obtuso = dobro do ângulo agudo

• soma dos ângulos internos de um quadrilátero = 360°

• soma dos ângulos internos de um triângulo = 180°

O que queremos: a medida do menor ângulo do triângulo

Passo 1 — Descobrir os ângulos do losango

O enunciado diz que o ângulo obtuso é o dobro do agudo, e sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. Isso nos permite montar uma equação para achar cada ângulo.

Por que esta fórmula: No losango, os ângulos opostos são iguais, então temos dois ângulos agudos (x) e dois obtusos (2x). A soma de todos é 360°.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: ângulo agudo do losango · $2x$ = enunciado: ângulo obtuso é o dobro do agudo

Passo 2 — Identificar os ângulos do triângulo na figura

O triângulo é formado ao lado do losango e do trapézio. Na figura, um dos ângulos do triângulo é adjacente ao ângulo agudo do losango (60°) e outro é adjacente ao ângulo reto do trapézio (90°).

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma leitura da figura. O ângulo do triângulo que toca o losango é o mesmo ângulo agudo do losango, e o que toca o trapézio é o ângulo reto.

Passo 3 — Calcular o terceiro ângulo do triângulo

Com dois ângulos conhecidos, o terceiro é a diferença para 180°, pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, então o ângulo restante é 180° menos os dois conhecidos.

De onde vem cada valor: $60°$ = passo 2: ângulo adjacente ao losango · $90°$ = passo 2: ângulo adjacente ao trapézio

Resposta: 30° — alternativa D