Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2024

Função de proporcionalidade inversa

Gabarito: letra A — o ponto N = (8, 8) é o único que satisfaz a relação de proporcionalidade inversa com o ponto M = (4, 16), pois o produto das coordenadas é constante (4 × 16 = 64 = 8 × 8).

A função de proporcionalidade inversa tem a forma $f(x) = \frac{K}{x}$, onde $K$ é uma constante real. Isso significa que, para qualquer ponto $(x, y)$ pertencente ao gráfico, o produto $x \cdot y$ é sempre igual a $K$. Essa é a propriedade fundamental que define a proporcionalidade inversa: quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção, mantendo o produto constante.

No problema, temos o ponto M = (4, 16). Substituindo na função, encontramos o valor de K:

Portanto, a função é $f(x) = \frac{64}{x}$. Para que um ponto N = (x, y) pertença ao gráfico, o produto de suas coordenadas deve ser igual a 64. Vamos verificar cada alternativa:

• A) (8, 8): $8 \times 8 = 64$ ✅

• B) (16, 8): $16 \times 8 = 128$ ❌

• C) (12, 5): $12 \times 5 = 60$ ❌

• D) (2, 64): $2 \times 64 = 128$ ❌

• E) (6, 11): $6 \times 11 = 66$ ❌

A única alternativa que mantém o produto constante é a letra A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O ponto (8, 8) satisfaz a condição de proporcionalidade inversa, pois $8 \times 8 = 64$, que é exatamente o valor de K encontrado a partir do ponto M. Isso confirma que N pertence ao gráfico da função $f(x) = \frac{64}{x}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O ponto (16, 8) resulta em $16 \times 8 = 128$, que é o dobro de K. Para que estivesse correto, o produto deveria ser 64, mas aqui é 128, indicando que o ponto não pertence à função.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O ponto (12, 5) resulta em $12 \times 5 = 60$, que é diferente de 64. Portanto, não satisfaz a relação de proporcionalidade inversa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O ponto (2, 64) resulta em $2 \times 64 = 128$, que também é o dobro de K. Assim, não pertence ao gráfico da função.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O ponto (6, 11) resulta em $6 \times 11 = 66$, que é próximo de 64, mas não igual. Portanto, não satisfaz a condição necessária.

Gabarito: letra A