Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — VUNESP 2024

Função exponencial aplicada a crescimento percentual

Gabarito: letra E. Um crescimento constante de 70% ao ano sobre o valor do ano anterior caracteriza um modelo exponencial, em que o valor em cada ano é o anterior multiplicado por 1,7 (fator de aumento). Assim, após t anos, o volume é dado por V(t) = V₀ · 1,7ᵗ — exatamente a alternativa E.

O ponto central desta questão é distinguir crescimento percentual composto (exponencial) de crescimento linear (função afim). Quando uma grandeza cresce a uma taxa percentual fixa por período, o acréscimo de cada período incide sobre o valor já acumulado do período anterior — é o chamado crescimento exponencial, o mesmo princípio dos juros compostos. Já no crescimento linear, o acréscimo é sempre um valor fixo, independente do montante acumulado.

Para entender por que o fator é 1,7, lembre-se: um aumento de 70% significa que o novo valor é o antigo mais 70% do antigo, ou seja, 100% + 70% = 170% do valor anterior. Em decimal, 170% = 1,7. Portanto, a cada ano o volume é multiplicado por 1,7. Se isso se repete por t anos, multiplicamos V₀ por 1,7 t vezes — daí a potência 1,7ᵗ.

Vamos testar com um exemplo numérico para fixar. Suponha V₀ = R$ 100 (em 2023). Após 1 ano (t = 1): V(1) = 100 · 1,7 = R$ 170 (crescimento de 70%). Após 2 anos (t = 2): V(2) = 100 · 1,7² = 100 · 2,89 = R$ 289. Note que o crescimento do segundo ano foi de R$ 119 (de 170 para 289), maior que os R$ 70 do primeiro ano — isso é a característica do crescimento exponencial: o acréscimo aumenta a cada período porque incide sobre uma base cada vez maior. Se fosse crescimento linear, após 2 anos teríamos 100 + 70 + 70 = R$ 240.

A pegadinha da banca está em confundir o fator multiplicativo (1,7) com a taxa percentual (0,7) e em misturar o modelo exponencial com o linear. As alternativas A e B usam multiplicação por t (modelo linear), e a alternativa D usa 0,7 como base, o que representaria uma redução de 30% ao ano, não um aumento de 70%. A alternativa C soma um termo linear, também errada. A única que representa corretamente o crescimento composto é a E.

Guarde esta distinção: crescimento percentual constante → exponencial (base = 1 + taxa); crescimento por valor fixo → linear (soma de parcelas constantes). É exatamente nessa fronteira que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

V(t) = V₀ · 1,7 · t representa um crescimento linear, em que o acréscimo anual é sempre 70% do valor inicial (0,7·V₀ somado a cada ano). Mas o enunciado diz que o crescimento de 70% se mantém constante sobre o valor do ano anterior, ou seja, o acréscimo incide sobre o montante acumulado — isso é crescimento exponencial, não linear. O fator 1,7 multiplicando t não tem sentido matemático aqui: 1,7 é o fator de aumento por período, não uma taxa a ser multiplicada pelo tempo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

V(t) = V₀ · 0,7 · t também é um modelo linear, e ainda usa 0,7 como fator. O número 0,7 corresponde à taxa de 70% em decimal, mas não é o fator de aumento — o fator é 1 + 0,7 = 1,7. Além disso, multiplicar por t caracteriza acréscimo fixo por período, não crescimento composto. Esta alternativa mistura dois erros: usa a taxa em vez do fator e aplica modelo linear.

Alternativa C — ❌ Incorreta

V(t) = V₀ + 1,7 · t representa um crescimento linear aditivo, somando 1,7·t ao valor inicial. Isso significaria que o volume cresce somando 1,7 unidade por ano, o que não corresponde a um aumento percentual de 70%. Além disso, 1,7 é o fator multiplicativo, não um valor a ser somado. O modelo correto exige multiplicação pelo fator elevado ao tempo, não adição.

Alternativa D — ❌ Incorreta

V(t) = V₀ · 0,7ᵗ usa a base 0,7, que é menor que 1. Uma base entre 0 e 1 em uma função exponencial representa decrescimento — a cada ano o valor seria multiplicado por 0,7, ou seja, reduzido em 30%. Isso é o oposto do que o enunciado pede (aumento de 70%). O erro está em confundir a taxa percentual (0,7) com o fator de aumento (1,7).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

V(t) = V₀ · 1,7ᵗ é a expressão correta. O fator 1,7 = 1 + 0,7 representa o aumento de 70% sobre o valor anterior, e o expoente t indica que essa multiplicação se repete a cada ano. Para t = 0, temos V(0) = V₀ · 1,7⁰ = V₀, confirmando que V₀ é o volume em 2023. Para t = 1, V(1) = V₀ · 1,7, exatamente 70% a mais. Este é o modelo clássico de crescimento exponencial, análogo aos juros compostos.

Gabarito: letra E