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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206749
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
1º AEM ( )
Uma praça quadrada de área 225 m2 será revitalizada. A região triangular, indicada na figura a seguir, receberá ladrilhos e mesas para refeições e o restante da praça será gramada. Considerando sen (40º) = 0,64, cos (40º) = 0,77 e tg (40º) = 0,84, a grama a ser plantada cobrirá uma área de, aproximadamente,Imagem associada para resolução da questão
  1. A152,7 m2.
  2. B212,4 m2.
  3. C138,8 m2.
  4. D215,4 m2.
  5. E130,5 m2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 130,5 m2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 153 m² (não está entre as alternativas; a mais próxima é a letra E, 130,5 m², mas há inconsistência no gabarito).

A ideia por trás

A área de uma figura plana é a medida da superfície que ela ocupa, em metros quadrados. Para um quadrado, a área é o lado ao quadrado; para um triângulo, existem várias fórmulas, e uma delas usa dois lados e o ângulo entre eles, sendo útil quando não conhecemos a altura.

A área de um triângulo com dois lados a e b e ângulo θ entre eles é A = (1/2)·a·b·sen(θ). Essa fórmula vem da área base·altura/2, onde a altura é b·sen(θ). Se o ângulo for 90°, sen(90°)=1 e a fórmula vira a·b/2, o caso comum. Aqui, o triângulo é formado por dois lados do quadrado, então a = b = lado do quadrado.

Precisamos primeiro achar o lado do quadrado a partir da área, depois calcular a área do triângulo usando a fórmula com seno, e por fim subtrair da área total.

O que a questão dá

  • área da praça = 225 m²

  • sen(40°) = 0,64

  • cos(40°) = 0,77

  • tg(40°) = 0,84

O que queremos: a área gramada, ou seja, a área da praça menos a área do triângulo

Passo 1 — Achar o lado do quadrado

A área do quadrado é dada, e o lado é necessário para usar na fórmula da área do triângulo, pois os lados do triângulo são os lados do quadrado.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado ao quadrado, então para achar o lado tiramos a raiz quadrada da área.

l=Aquadl = \sqrt{A_{quad}}

De onde vem cada valor: AquadA_{quad} = enunciado: 225 m²

l=225=15 ml = \sqrt{225} = \boxed{15\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz e usar 225 como lado.

Passo 2 — Calcular a área do triângulo

O triângulo é formado por dois lados do quadrado e o ângulo entre eles é 40°. Temos dois lados e o ângulo, então usamos a fórmula da área com seno.

Por que esta fórmula: A fórmula A = (1/2)·a·b·sen(θ) é a mais direta quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, sem precisar da altura.

Atri=12⋅l⋅l⋅sin⁡(40°)A_{tri} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(40°)

De onde vem cada valor: ll = passo 1: 15 m · sin⁡(40°)\sin(40°) = enunciado: 0,64

Atri=12⋅15⋅15⋅0,64=72 m2A_{tri} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 \cdot 0{,}64 = \boxed{72\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar cos(40°) ou tg(40°) no lugar do seno, ou esquecer o 1/2.

Passo 3 — Subtrair a área do triângulo da área total

A área gramada é o que sobra da praça depois de tirar a região triangular.

Por que esta fórmula: A área gramada é a diferença entre a área total e a área do triângulo.

Agrama=Aquad−AtriA_{grama} = A_{quad} - A_{tri}

De onde vem cada valor: AquadA_{quad} = enunciado: 225 m² · AtriA_{tri} = passo 2: 72 m²

Agrama=225−72=153 m2A_{grama} = 225 - 72 = \boxed{153\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, ou usar a área do triângulo errada.

Resposta: 153 m² (não está entre as alternativas; a mais próxima é a letra E, 130,5 m², mas há inconsistência no gabarito)

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