Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2024

Ponto médio de um segmento

Gabarito: letra A — o ponto médio Q do segmento MN, com M(2,1) e N(6,5), é calculado pela média aritmética das coordenadas correspondentes: $Q = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (4,3)$.

O ponto médio de um segmento de reta é o ponto que o divide em duas partes de igual comprimento. Na Geometria Analítica, para encontrá-lo, basta calcular a média aritmética das coordenadas dos extremos: a abscissa do ponto médio é a média das abscissas, e a ordenada é a média das ordenadas. Essa é uma das aplicações mais diretas do plano cartesiano e cai com frequência em concursos, quase sempre como uma questão de aplicação imediata da fórmula.

A fórmula geral é: dados dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$, o ponto médio $M$ tem coordenadas $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$. A lógica por trás é simples: o ponto médio está exatamente no meio do caminho entre os dois extremos, tanto na direção horizontal (eixo x) quanto na vertical (eixo y). Por isso, cada coordenada é a média das coordenadas correspondentes dos extremos.

Aplicando ao problema: M(2,1) e N(6,5). A abscissa de Q é $\frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$. A ordenada de Q é $\frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Portanto, Q(4,3).

A pegadinha que a banca explora aqui é a inversão das coordenadas: o candidato que calcula a média corretamente, mas troca a ordem (coloca a média das ordenadas como abscissa e vice-versa), cai na alternativa C (3,4). Outra armadilha comum é somar as coordenadas sem dividir por 2, o que levaria a (8,6) — que nem aparece nas alternativas, mas mostra a importância de aplicar a fórmula completa.

Guarde o critério decisivo: ponto médio = média aritmética das coordenadas correspondentes. É exatamente essa operação que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula do ponto médio: $Q = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{6}{2}\right) = (4,3)$. A abscissa 4 é a média de 2 e 6; a ordenada 3 é a média de 1 e 5. A alternativa espelha exatamente o resultado do cálculo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Q(3,3) apresenta a ordenada correta (3), mas a abscissa errada (3 em vez de 4). O candidato pode ter calculado a média das abscissas incorretamente (por exemplo, $\frac{2+6}{2}$ como $\frac{8}{2}=4$, mas depois subtraído 1 por engano) ou confundido a abscissa de M (2) com a média. O valor 3 não corresponde a nenhuma média correta das coordenadas dadas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Q(3,4) é a clássica pegadinha de inversão: a abscissa 3 é a média das ordenadas (1 e 5), e a ordenada 4 é a média das abscissas (2 e 6). O candidato que calcula as médias corretamente, mas as atribui aos eixos trocados, cai aqui. A ordem correta é (média dos x, média dos y) = (4,3).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Q(5,6) não corresponde a nenhuma operação direta com as coordenadas. O 5 pode vir de uma soma incorreta (2+6=8, dividido por 2 = 4, mas somado 1), e o 6 é a soma das ordenadas (1+5=6) sem dividir por 2. É um distrator que mistura operações sem aplicar a fórmula do ponto médio.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Q(2,2) repete as coordenadas do ponto M. O candidato pode ter confundido o ponto médio com um dos extremos, ou simplesmente não aplicado a fórmula. O ponto médio nunca coincide com um extremo, a menos que o segmento tenha comprimento zero, o que não é o caso aqui.

Gabarito: letra A