Questão de Matemática — Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer — VUNESP 2024
Matemática›Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer
Código
vu206759
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
1º AEM ( )
O piso de uma cozinha é formado por um mosaico composto por octógonos, quadrados e triângulos. Uma mesa, cujo tampo retangular é de vidro, foi colocada sobre esse piso de forma que os cantos desse tampo estivessem sobre o centro de quatro desses octógonos. O tampo dessa mesa, destacado em vermelho na imagem, tem área equivalente à área de 6 quadrados mais N octógonos usados para compor o mosaico do piso. Qual o valor de N?
A6
B5
C7
D8
E12
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GabaritoA — 6
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a N = 6 — alternativa A.
A ideia por trás
Área é a medida da superfície de uma figura, e uma das formas de calculá-la é decompor a figura em partes menores cujas áreas conhecemos. No caso de mosaicos, a área de uma região pode ser comparada com a área das peças que a compõem, contando quantas peças inteiras (ou frações que se completam) cabem dentro dela.
A área de uma figura composta é a soma das áreas das partes que a formam. Se um retângulo é coberto por quadrados e octógonos, a área total é a soma das áreas de cada peça. A relação entre as áreas das peças é fixa: se o lado do octógono é l, o lado do quadrado também é l, e a área do octógono é 2(1+√2)l², enquanto a do quadrado é l². Assim, cada octógono equivale a aproximadamente 4,83 quadrados.
Esta questão pede para comparar a área do tampo com a área das peças do mosaico, contando quantas peças inteiras de cada tipo cabem dentro do retângulo. A dificuldade está em considerar as frações de octógonos nas bordas que, somadas, formam octógonos inteiros.
O que a questão dá
tampo retangular com cantos sobre o centro de quatro octógonos
mosaico formado por octógonos, quadrados e triângulos
área do tampo = área de 6 quadrados + N octógonos
O que queremos: o valor de N, o número de octógonos equivalentes à área do tampo
Passo 1 — Contar os quadrados inteiros dentro do tampo
A área do tampo é dada como a soma de 6 quadrados mais N octógonos. Para encontrar N, primeiro precisamos saber quantos quadrados inteiros estão dentro do retângulo. Observando a figura, o tampo cobre exatamente 6 quadrados completos.
NÃO CAIA NESSA!
Contar quadrados parcialmente cobertos como inteiros, ou esquecer de contar algum quadrado interno.
Passo 2 — Contar os octógonos inteiros dentro do tampo
Agora precisamos contar os octógonos que estão completamente dentro do tampo. Na figura, vemos que há octógonos inteiros no interior, mas também há frações de octógonos nas bordas. Primeiro, contamos os inteiros.
4 octógonos inteiros
NÃO CAIA NESSA!
Contar apenas os octógonos com centro dentro do tampo, ignorando as frações nas bordas.
Passo 3 — Somar as frações de octógonos nas bordas
As bordas do tampo cortam alguns octógonos, deixando frações. Essas frações, quando somadas, podem formar octógonos inteiros. Precisamos analisar cada borda e ver quantas frações se completam.
2 octógonos completos formados pelas frações
NÃO CAIA NESSA!
Ignorar as frações nas bordas, contando apenas os octógonos inteiros e subestimando N.
Passo 4 — Calcular o total de octógonos equivalentes
Agora somamos os octógonos inteiros com os octógonos formados pelas frações para obter o total de octógonos equivalentes à área do tampo.
Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das partes, então o número de octógonos equivalentes é a soma dos octógonos inteiros e dos octógonos formados pelas frações.
De onde vem cada valor: = passo 2: 4 · = passo 3: 2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar as frações, resultando em N = 4 ou N = 5.
