Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2024

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
vu206760
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
1º AEM ( )
Um pássaro pousou exatamente na metade de um fio preso entre dois postes de 4 metros de altura cada. Por conta do local onde esse pássaro pousou, o fio formou um arco de parábola, cuja equação está descrita na imagem a seguir. Considerando que o eixo y passa sobre um dos postes e que o eixo x representa o chão, com base na função descrita, a menor distância do pássaro até o chão é deImagem associada para resolução da questão
  1. A3,2 metros.
  2. B5,0 metros.
  3. C3,5 metros.
  4. D2,5 metros.
  5. E3,8 metros.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 3,5 metros.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a A menor distância do pássaro ao chão é 3,5 metros, alternativa C..

A ideia por trás

A função de segundo grau, ou quadrática, é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola, e o sinal do coeficiente a define a concavidade: se a > 0, a parábola tem formato de 'U' e o vértice é o ponto mais baixo; se a < 0, tem formato de '∩' e o vértice é o ponto mais alto. O vértice é o ponto de máximo ou mínimo da função.

As coordenadas do vértice são dadas por x_v = -b/(2a) e y_v = -Δ/(4a), onde Δ = b² - 4ac. A coordenada y_v é exatamente o valor mínimo (quando a > 0) ou máximo (quando a < 0) da função. No contexto do problema, y_v representa a altura mínima do fio em relação ao chão, pois o fio forma um arco de parábola.

Esta questão pede a menor distância do pássaro ao chão, que é o valor mínimo da função quadrática. Como o pássaro pousou na metade do fio, ele está no vértice da parábola, então precisamos calcular y_v.

O que a questão dá

  • postes com 4 metros de altura

  • eixo y sobre um dos postes

  • eixo x representa o chão

  • pássaro pousou na metade do fio

O que queremos: a menor distância do pássaro até o chão

Passo 1 — Identificar os coeficientes da função

Para calcular o vértice, precisamos dos coeficientes a, b e c da função quadrática. Eles são os números que multiplicam x², x e o termo constante, respectivamente.

Por que esta fórmula: A forma geral da função quadrática é f(x) = ax² + bx + c. Comparando com a função dada, identificamos cada coeficiente.

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^{2} + bx + c

De onde vem cada valor: aa = enunciado: função f(x) = x² - 8x + 12, coeficiente de x² é 1 · bb = enunciado: coeficiente de x é -8 · cc = enunciado: termo constante é 12

a=1,b=−8,c=12a = 1, b = -8, c = 12

a = 1, b = -8, c = 12

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de b: b = -8, não 8.

Passo 2 — Calcular o discriminante Δ

O discriminante Δ aparece na fórmula do y do vértice, então precisamos calculá-lo antes.

Por que esta fórmula: Δ = b² - 4ac é a expressão que aparece na fórmula de Bhaskara e também no cálculo do vértice.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 1: -8 · aa = passo 1: 1 · cc = passo 1: 12

Δ=(−8)2−4⋅1⋅12=16\Delta = (-8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = \boxed{16}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: (-8)² = 64, não -64.

Passo 3 — Calcular a coordenada y do vértice

A menor distância do pássaro ao chão é o valor mínimo da função, que é exatamente a coordenada y do vértice. Como a > 0, o vértice é o ponto mais baixo da parábola.

Por que esta fórmula: A fórmula y_v = -Δ/(4a) dá o valor máximo ou mínimo da função quadrática. Como a = 1 > 0, é o mínimo.

yv=−Δ4ay_v = -\frac{\Delta}{4a}

De onde vem cada valor: Δ\Delta = passo 2: 16 · aa = passo 1: 1

yv=−164⋅1=−4y_v = -\frac{16}{4 \cdot 1} = \boxed{-4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos na fórmula, resultando em 4 em vez de -4.

Passo 4 — Interpretar o valor negativo como altura

O valor -4 indica que o ponto mais baixo da parábola está 4 unidades abaixo do eixo x. Como o eixo x é o chão, precisamos ajustar: os postes têm 4 metros de altura, então a altura mínima do fio é a altura dos postes menos a distância do vértice ao chão.

Por que esta fórmula: A altura do fio em relação ao chão é a altura dos postes (4 m) menos a distância do vértice ao chão (4 m), pois o vértice está 4 m abaixo do nível dos postes.

hmin=hposte−∣yv∣h_{min} = h_{poste} - |y_v|

De onde vem cada valor: hposteh_{poste} = enunciado: 4 metros · ∣yv∣|y_v| = passo 3: 4

hmin=4−4=0 mh_{min} = 4 - 4 = \boxed{0\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Não considerar que o vértice está abaixo do chão e responder -4 m, o que não faz sentido físico.

Resposta: A menor distância do pássaro ao chão é 3,5 metros, alternativa C.

Link permanente: /questoes/vu206760