Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu206762
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
2º AEM ( )
Uma frota de 8 táxis será distribuída entre os aeroportos de Congonhas, Guarulhos, Viracopos, de modo que 2 táxis irão para Congonhas, 5 para Guarulhos e 1 para Viracopos. Sendo João o motorista de um dos táxis, o número de maneiras que a frota poderá ser distribuída, com João indo para Viracopos, é igual a
A21.
B1.
C6.
D28.
E168.
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GabaritoA — 21.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 21 maneiras — alternativa A.
A ideia por trás
Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos agrupar ou organizar elementos. Quando temos objetos distintos (como táxis com motoristas diferentes) e precisamos separá-los em grupos com tamanhos fixos, a ordem dentro de cada grupo não importa — o que importa é quais objetos vão para cada grupo. Isso é uma combinação.
A combinação de n elementos tomados k a k, denotada C(n,k), conta quantos subconjuntos de tamanho k podemos formar a partir de n elementos distintos, sem considerar a ordem. A fórmula é C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). O princípio fundamental da contagem diz que, se temos etapas sucessivas e independentes, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, escolher os táxis de Congonhas e depois os de Guarulhos são etapas independentes.
Esta questão cobra a aplicação de combinação com uma restrição: João já está alocado em Viracopos, então precisamos distribuir os 7 táxis restantes entre os outros dois aeroportos. A ordem dentro de cada aeroporto não importa, então usamos combinação.
O que a questão dá
8 táxis no total
2 táxis para Congonhas
5 táxis para Guarulhos
1 táxi para Viracopos
João é um dos motoristas
O que queremos: o número de maneiras de distribuir a frota com João indo para Viracopos
Passo 1 — Fixar João em Viracopos
A condição do problema é que João vá para Viracopos. Como Viracopos recebe exatamente 1 táxi, e João é esse táxi, ele já está alocado. Isso reduz o problema: agora temos 7 táxis restantes para distribuir entre Congonhas (2 vagas) e Guarulhos (5 vagas).
7 táxis restantes
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de fixar João e calcular a distribuição total sem a restrição, o que daria 168 (alternativa E).
Passo 2 — Escolher os 2 táxis de Congonhas
Com João já alocado, precisamos decidir quais 2 dos 7 táxis restantes irão para Congonhas. Como os táxis são distintos, a ordem de escolha não importa — escolher o táxi A e depois o B é o mesmo que escolher B e depois A. Por isso usamos combinação.
Por que esta fórmula: A combinação C(7,2) conta de quantas maneiras podemos escolher 2 táxis entre 7, sem considerar a ordem. É a ferramenta certa porque a ordem dentro do grupo de Congonhas é irrelevante.
De onde vem cada valor: = passo 1: táxis restantes após fixar João · = enunciado: 2 táxis para Congonhas · = constante: fatorial de 7 · = constante: fatorial de 2 · = constante: fatorial de 5
NÃO CAIA NESSA!
Usar arranjo (7P2 = 42) porque pensa que a ordem importa, mas aqui a ordem entre os táxis de Congonhas não faz diferença.
Passo 3 — Distribuir os 5 táxis restantes para Guarulhos
Depois de escolher os 2 táxis de Congonhas, os 5 táxis que sobraram automaticamente vão para Guarulhos, pois as vagas são fixas. Não há escolha adicional, então o número total de distribuições é exatamente o número de maneiras de escolher os táxis de Congonhas.
5 táxis para Guarulhos
NÃO CAIA NESSA!
Tentar multiplicar por C(5,5) ou algo similar, mas como os 5 restantes são obrigatórios, não há escolha.